耶鲁基础物理 7.1 开普勒定律



现在, 我们讨论与保守力相关的一个最著名问题:天体在万有引力作用下的运动。

这是我们处理问题方面重大的飞跃,超越斜面、滑轮等等诸如此类的问题,我们将了解行星是如何围绕太阳运转的。这是一个很大很大的问题,对吧?方程里的$m$不再是滑轮或者小物块的质量,而是木星与太阳的质量。

我们将要求解宇宙学尺度上的问题,还要学很多知识吗?

不需要,已经掌握的知识差不多够了。

在牛顿时代,情形是这样的。尼古拉斯·哥白尼对太阳系的结构提出了新的观点:太阳不动,其他行星绕着它转。

这是个非凡的观点。

当时的科研文化,不是“不发表就毁灭”(Publish or perish),而是“发表即毁灭”(Publish and perish)。在那时,站出来说出自己对天体的看法可不是一个好主意。

更重要的是,哥白尼是怎样构造出来这个理论的呢?即使在今天,即使我们知道哥白尼的日心说模型是正确的,当我们放眼向四周看去,眼中看到的并不是这样的情景。如果从很 远的地方观察我们的太阳系,它将会十分简单。但是,我们身处太阳系内部,看待太阳系有什么优势?我们位于离太阳第三近的行星上,绕自身的轴自转,同时还围绕太阳公转。我们认为自己是静止的,一切天体都在绕着我们转。哥白尼从这一片混乱之中,推断出我们绕着太阳转这个简单的图景,这是相当了不起的。这场思想上的转变被称为哥白尼革命,当之无愧。

在哥白尼革命之后,天文学家重新整理观测数据,从以地球为中心换成以太阳为中心,重新分析新结果。第谷·布拉赫是丹麦贵族,拥有自己的天文台,研究太阳系。第谷的助手约翰尼斯・开普勒是一位数学家,四十年如一日进行研究,将所得结果总结为三条深刻的定律,发表出来。他的三条定律值得如此长时间的等待。

现在的科研人员可不要轻易学开普勒,熬40年才发表成果,你将毕不了业,找不到工作,申请不到基金。在今天的大环境下,搞这样的长期项目是很冒险的。我能想出来的当代像开普勒一样工作的实例是雷蒙德·戴维斯,他关于中微子的工作,持续了 30 多年,最终为解开一个重大的有关中微子之谜做出了贡献。

下面我们说一下开普勒三定律。如图7.1所示,太阳位于S点,P为行星。



图7.1 太阳系中的行星的轨道为椭圆,太阳位于椭圆的一个焦点上。

  • 开普勒第一定律:行星的运行轨道为椭圆,太阳在轨道的一个焦 点上。
  • 开普勒第二定律:位置矢量$\vec{SP}$在相等的时间间隔内扫过的面积相同。例如,1、2 间的面积和 3、4间的面积相同。
  • 开普勒第三定律:所有行星的周期$T$的平方与椭圆轨道半长轴$a$的立方之比,$T^2/a^3$,都相等。

大家还记得什么是椭圆吗?

椭圆是到两个焦点(图7.1中的S和E)距离之和(图7.1中$r+r'$)为常量的那些点构成的 轨迹。

可以这样画出一个椭圆, 你要准备一根长度为 $2a$ 的线,用图钉将其两端分别固定在两个焦点S和E处,然后将铅笔尖绕在这根线上,置于$P$点, 如图 7.1 所示。使这根线一直绷紧,走出一条闭合的路径,就是椭圆。椭圆的长轴为 $2a$,半长轴为$a$。对这个椭圆,有

$$ r+r'=2a \label{7.1}\tag{7.1} $$

为什么线的长度 $2a$正好也是长轴的长度,也就是椭圆在$x$方向上的宽度。设想铅笔尖在点$A$处, 线的长度等于从$S$到$A$的长度加上从$A$返回$E$的长度,也就是说$AE$这 一部分被线覆盖了两次,如果将重叠部分的其中一份儿借出来,它与$BS$段是相等的,所以,这根线的长度横跨了长轴,$2a$。

如果将两个焦点重叠为一个点,就会得到一个半径$R=a$的圆。

短轴$2b$为椭圆竖直方向的宽度,我们现在用不到这个知识。

如果太阳位于焦点$S$处,那么另一个焦点$E$处有什么呢?

现在看来,什么都没有,尽管有传闻说曾在这个地方看到了猫王埃尔维斯(Elvis),图中给出的符号倒是认可了这个很有可能性的愿望。

现在我们看开普勒第二定律。

假设行在一星期内,从1 点运动到 2 点。测量一下这期间所扫过的面积,也就是在 1、 2 两 点间那部分轨道与两个径向矢量$\vec{r}_1$、$\vec{r}_2$所围成的面积。对于每 个一星期的时间间隔,重复这一测量,例如在 3 和 4 点之间,所得到的面积都是相等的。事实上,哪怕是无限小时间间隔内位置矢量所掠过的面积对时间的变化率都是相等的,我们据此得出结论:

$$ \frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\mathrm{Const.} \label{7.2}\tag{7.2} $$

开普勒第三定律:

$$ T^2\propto a^3 \label{7.3}\tag{7.3} $$



太阳系中各行星满足开普勒第三定律

太阳系中各行星$a^3-T^2$图如下图所示。图中周期和轨道半长轴都以地球的相应的值约化。

有同学问对开普勒定律有多准,要不要有修正呢?

当然需要,就像其他定律一样。

主要有两个修正。

首先,行星运动不仅仅是受太阳的影响,同时还受其他的行星影响,尤其是木星。

其次,牛顿的引力定律已经被爱因斯坦的广义相对论所修正。

这两种效应使轨道不再闭合。长轴会随着时间缓慢地转动,叫作近日点进动, 这个现象对于水星最为明显。在牛顿力学体系下,进行了所有可能 的修正之后,还 有一个43角秒每世纪的极小的偏差,仍然无法得到解释。凭借着人类非凡的创造力,广义相对论对这最后的偏差给出了解释。

开普勒的数据对于牛顿来说十分有用。牛顿,大家都知道,因为剑桥闹瘟疫,所以 从学校回到了故乡。他回到自己过去的小村庄住下来,研究引力问题。那时他已经 提出了$F=ma$,但是还没有解过$F$为引力的情况。现在,他要解一把……

标签: 万有引力, 开普勒定律

添加新评论

captcha
请输入验证码