2017年12月

天下雪,路结冰,撒盐保平安



撒盐就是撒安全:道路保养卡车撒盐,保障行车安全。

原文链接:A salty safety solution
原作者:Johan Wåhlin 和 Alex Klein-Paste,挪威科技大学研究人员

雪下了一周。周六你来到挪威山上的滑雪场,阳光明媚,凉风扑面,一个周末,惬意滑雪。周日下午,天气回暖,你也要驱车回家,穿行在郁郁山林覆盖的群山。天下起雨来。来时,路上有斑斑块块的雪,开车多轻松,而这时的路结满了冰,车轮行其上,连连打滑,险象环生。

尽管你的车装备着防滑钉的轮胎,让车轮抓住地面,也并非易事,一不小心就可能失控,滑入深渊,撞向大树,或是追尾。你的心提到嗓子眼,你的手紧握方向盘,你的眼睛瞪如铃。

终于,熬出来了,你上了干线公路。山间滑如玻璃的路,变成了黑油油的柏油路,路上没有水,没有雪,也没有冰。为什么会这样?你看到对面开来的路政养护卡车,边行边撒盐,你就知道原因了。那么,盐对路面上的冰雪到底做了什么?为什么可以将危险的高速公路转化为安全的路面?

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推导 Hubbard-Stratonovich 变换



Nigel Goldenfeld

伊利诺伊大学Goldenfeld 教授的《相变与重整化群》课程的习题习题4.2,证明恒等式:

\begin{equation*} \int_{-\infty}^{\infty}\Pi_{i=1}^N\left(\frac{dx_i}{\sqrt{2\pi}}\right)\exp\left(-\frac{1}{2}x_iA_{ij}x_j+x_iB_i \right)=\frac{1}{\sqrt{\mathrm {det} A}}e^{\frac{1}{2}B_i(A^{-1})_{ij}B_j} \end{equation*}

式中采用了爱因斯坦求和约定。矩阵 $A$ 为对称正定矩阵,$B$ 为任意矢量。

这其实就是Hubbard-Stratonovich 变换,H-S变换其实就是多变量高斯积分

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两个状态方程,哪个更合理?

《现代统计力学导论》第一章练习 1.1, 1.2

1.1 列出一些两种能量流动形式的熟悉例子(例如,冰融化的两种方式——搅拌或太阳晒)。

解答:
冬天暖手:搓手或捧热水杯。
热水器:电热水器或燃气热水器

1.2 一根橡皮带的状态方程是

\begin{equation*} S=L_0\gamma \left( \frac{\theta E}{L_0} \right)^{1/2} -L_0\gamma\left[ \frac{1}{2}\left( \frac{L}{L_0} \right)^2+\frac{L_0}{L}-\frac{3}{2}\right], L_0=nl_0 \end{equation*}

\begin{equation*} S=L_0\gamma e^{\theta nE/L_0} -L_0\gamma\left[ \frac{1}{2}\left( \frac{L}{L_0} \right)^2+\frac{L_0}{L}-\frac{3}{2}\right], L_0=nl_0 \end{equation*}

其中 $\gamma$、$l_0$、$\theta$ 都是常数,$n$ 是物质的量,$L$ 是橡皮带的长度,$S$ 是熵,$E$ 是能量。问上面两个方程哪个更符合实际?为什么?对于所选的状态方程,导出张力 $f$ 对温度 $T$ 和 $L/n$ 的依赖关系,即确定 $f(T,L/n)$。

解答:

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