理论物理极础1. 经典物理的本性

莱尼用手捋着胡子,说:“乔治,给我讲讲物理吧”。
乔治略思片刻,目光从眼镜上方看着莱尼,说:“好的,莱尼,我用最少的内容给你讲讲物理最核心的理论思想”

什么是经典物理?

经典物理指的是量子物理之前的物理,包括牛顿运动方程、麦克斯韦和法拉第的电磁场理论和爱因斯坦的相对论。经典物理不仅仅是具体现象的具体理论,还是一套原理和规则——所有不含量子不确定性现象背后的逻辑。这些一般规则称为经典物理。(注:原文这里是Classical Mechanics,中文里Mechanics翻译成力学,但是在英文,Mechanics的意思是How things go,Mechanics很多情况下与Physics是同义语。)

经典物理学的任务是预言未来。18世纪伟大的物理学家拉普拉斯说过如下著名的话:

我们可以把宇宙的当前状态看做过去状态的后果和未来状态的起因。一位智者如果知道某个时刻驱动自然运动的所有的力和自然所有组成的位置,如果这位智者还有强大的能力对这些数据进行分析,则宇宙从庞然大物到细微原子,万物的所有运动都包含在一个公式里。对于这位智者来说,没有什么是不确定的,未来就像过去一样,呈现在眼前。

在经典物理里,如果你知道某系统在某个时刻的一切,你还知道系统演化的方程,你就可以预言系统的未来,即经典物理学定律是决定论的。如果把过去和未来颠倒,我们看到的现在是一样,则系统演化的方程还可以告诉我们系统的过去。即经典物理研究里,系统是可逆的。

简单动力系统和态空间

粒子、场、波等诸如此类的研究对象的集合称为系统。整个宇宙,或从周围一切分割开来感受不到其他存在的一个系统,都称为封闭系统。

练习1:
封闭系统这个概念在理论物理里非常重要,让我们思考一下,封闭系统到底是什么,是否存在。建立一个封闭系统,暗含哪些假设?什么又是开放系统?

要理解什么是决定论和可逆,我们从一些极其简单的封闭系统谈起。这些系统比理论物理通常研究的系统要简单很多,但是遵循经典物理的基本规则。想象一个抽象的物体,只有一个状态,比如粘在桌面上的正面朝上的硬币。在物理学的行话里,一个系统可以存在的所有的状态叫做态空间。态空间不是通常的我们生活的空间,态空间是一个数学集合,其元素是系统可能的状态。这里,态空间只有一个点,即正面朝上(记作H)。预言这个系统的未来非常简单,任何观测都只有一个结果,正面朝上。

再考虑一个简单系统,态空间有两个点,想象一个抽象的物体,只有两个状态,比如一个硬币,可以正面朝上(记作H),也可以反面朝上(记作T),见图 1。


图1 双态空间

在经典物理里,我们认为,系统演化是连续的,没有任何跳跃和中断。很明显,你不能使状态从H连续地变成T,在这种情况下,必须要有跳跃。我们可以假设时间也是跳跃的,比如按整数跳跃。这种不连续的演化,称为频闪

一个随时间演化的系统称为动力学系统。一个动力学系统不仅要有一个态空间,还要遵循一定规则,这种规则称为运动定律,或动力学定律。动力学定律能告诉我们当前状态之后的状态。

一个简单的动力学定律是,某个时刻不管处于何种状态,下个时刻,状态保持不变。在这种情况下,系统演化历史只有两种情况:H H H H H H . . .,或 T T T T T T . . . 。如图2所示,箭头表示系统演化方向,从H指向H,从T指向T。预测系统未来非常简单,系统初始状态为H,则系统就保持为H,系统初始状态为T,则系统就保持为T。


图2 双态空间一种动力学定律

另一个动力学定律是,不管当前处于何状态,下一状态与当前状态相反。如图3所示,箭头从H指向T然后再指向H。系统未来也容易预测。如果初始状态为H,则系统演化史为:H T H T H T H T H T . . . 。如果初始状态为T,则系统演化史为T H T H T H T H . . . 。


图3 双态空间另一种动力学定律

动力学定律可以写成方程的形式。描述系统的变量称为自由度。硬币有1个自由度,用希腊字母$\sigma$表示,$\sigma$只有两个可能的取值,分别为 $\sigma=1$ 或 $\sigma=-1$,分别表示H或T。我们还可以用一个符号表示时间。如果系统随时间连续演化,我们可以用字母 $t$ 表示。这里是离散演化,我们用字母
$n$ 表示时间,时刻为 $n$ 时系统的状态可以用 $\sigma(n)$ 表示。

下面我们用方程表示前面所说的两个定律。第一种动力学定律可表示为如下方程:

\begin{equation*} \sigma(n+1)=\sigma(n) \end{equation*}

表述的意思是,在时刻$n$不管系统处于何状态,下一时刻系统仍然处于此状态。

第二个定律可表示为如下方程:

\begin{equation*} \sigma(n+1)=-\sigma(n) \end{equation*}

表示系统每个时间步换一次状态。

以上两个例子中,系统未来的状态都由初始状态绝对决定,因此两个定律均为决定论性定律。经典物理所有的基本定律都是决定论性定律。

下面我们做一些更有趣的例子,增大系统状态的数目。收起硬币,拿出色子。色子有6个可能的状态。如图4。


图4 六态系统

系统可能的定律的也多了,甚至难以用语言和方程表述,这时候我们可以用图表示,如图5就是一个动力学定律。图5表示的意思是,色子的数值态每过一个时间步就增加1,数值态增加到6时,数值态在下一个时间步返回1,然后重复前述模式。这种模式称为循环。如果系统初始状态为3,则系统的演化历史为:3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, . . . 。我们暂且称此为动力学定律1。


图5 动力学定律1

图6为动力学定律2。图6看起来更乱,但逻辑上与图5是一样的,系统也是按一个循环走遍6个状态。如果我们重新标记系统的状态,动力学定律2与动力学定律1就变得完全一样了。


图6 动力学定律2


图7 动力学定律3

并不是所有的动力学定律都是一样的,比如图7所示的动力学定律3。这个定律有两个循环,如果从一个循环开始,不会到达另外一个循环。但是,这个动力学定律也是完全决定论的。不管你从哪里开始,未来都是确定的。比如,从状态2开始,系统的演化历史将是:2, 6, 1, 2, 6, 1, . . .,你不会到达状态5。如果初始状态为5,系统的历史将是:5, 3, 4, 5, 3, 4, . . . ,你不会到达6。

图8所示的动力学定律4有3个循环。


图8 动力学定律4

对于这个有6个状态的系统,还可以写出许许多多其他可能的动力学定律。

练习2:
对于一个6态系统,你能想出一个一般的方法,给所有可能的定律进行分类吗?

不允许的规则:第-1定律

根据经典物理的规则,不是所有的定律都是合法的。动力学定律只是决定论的还不够,还必须可逆。

可逆在物理学语境里的意思由多种描述方式。最简约的描述是,如果你扭转所有箭头,所得的定律也是决定论性的定律。另一种描述是,定律能预言未来,也能确定过去。如拉普拉斯所说:“对于智者来说,没有什么是不确定的,未来就像过去一样,呈现在眼前。” 能想象一个定律预言未来是决定论的,而对确定过去不是决定论的?换句话说,能否构造不可逆的定律?确实可以,如图9。


图9 一个不可逆系统

图9所示的定律,知道你现在的状态,就能知道你下一个状态。如果你处于状态1,你将到达状态2,然后到达状态3,然后到达状态2。这一定律对预言未来没有疑义。但是对确定过去就不同了。假设你现在状态2,之前你处于什么状态?可能是状态3,也可能是状态1,根据图9无法确定。就可逆性来说,更糟糕的是,没有状态能到达状态1,状态1没有过去。图9所示的定律是不可逆的,为经典物理原理所禁止的情况。

把图9的箭头都扭转,得到图10所示的定律,该定律不能预言未来。


图10 无法确定未来的系统

有一个简单的规则能判断一个图表示的定律是否是决定论的可逆定律。如果每个状态只有1个指向自己的箭头,并且只有1个箭头从自己指向外部,则此定律就是经典物理里合法的决定论的可逆定律。我们的口号是:必须有个箭头告诉你往哪里去,还必须有个箭头告诉你从哪里来。

动力学定律必须是决定论的和可逆的,这条规则在经典物理的地位如此核心,以致我们教这门课程的时候都忘了提。实际上,这条规则连个名字都没有。我们本可以称之为第一定律,可惜已经有了两条第一定律——牛顿第一定律和热力学第一定律,甚至还有热力学第零定律。这条规则只好称为第负一定律,以体现其在所有物理学定律里无可置疑的最基础的地位。第负一定律的内容是信息守恒。信息守恒就是每个状态都有一个箭头指向自己,同时有个箭头从自己向外指。信息守恒确保你能追溯到你所经历的状态。

信息守恒不是通常的守恒定律。我们先离题讨论一下具有无穷多状态的系统,然后再讨论守恒定律。

具有无穷多状态的系统的动力学定律

目前为止,我们举的例子,态空间具有的可能状态的数目是有限的。没有理由认为没有具有无穷多状态的动力学系统。比如,无穷多离散点组成的一条线,像一条火车道,沿线分布无穷多火车站。想象某种标记物按照某种规则从一个点跳到另一个点。为了描述这一系统,我们用整数标记沿线的各点,就像我们前面用整数标记时刻。因为我们已经用符号$n$表示离散的时间步,我们用$N$表示沿线的各点。标记物的历史由函数$N(n)$表示,这个函数表示在时刻$n$标记物处于线上第$N$个点。图11给出这个状态空间的一部分。


图11 一个无穷系统的态空间

图12给出这个系统的一条动力学定律,每个时间步,标记物沿线的正方向走一个点。


图12 一个无穷系统的态空间的一种动力学定律

这一定律是允许的,因为每个态都有指向自己的箭头,同时也有从自己向外指的箭头。这一定律可用如下方程表示:

\begin{equation}N(n+1)=N(n)+1 \tag{1}\label{eq:law1} \end{equation}

下面再举几条动力学定律,

\begin{equation} N(n+1)=N(n)-1 \tag{2} \label{eq:law2}\end{equation} \begin{equation}N(n+1)=N(n)+2 \tag{3} \label{eq:law3}\end{equation} \begin{equation}N(n+1)=N(n)^2 \tag{4} \label{eq:law4}\end{equation} \begin{equation}N(n+1)=(-1)^{N(n)}N(n) \tag{5} \label{eq:law5}\end{equation}

练习3:
以上四条规则中,哪些是经典物理允许的动力学定律?

在方程\ref{eq:law1}中,从任何状态开始,不管向未来走,还是向过去走,都可以到达其他任何一点,即此动力学定律有1个无限循环。而在方程\ref{eq:law3}中,从一个奇数$N$开始,你永远不会达到一个偶数,即此动力学定律有2个无限循环。

我们还可以给系统增加不同性质的状态,制造更多的循环,如图13所示。


图13 一个无穷系统的态空间被分成一个无穷循环和一个有限循环

循环与守恒律

如果态空间被分成几个循环,系统就会呆在初始状态所在的循环里。每个循环都有自己的动力学规则,但是都同是一个态空间的组成部分,因为它们描述同一个动力学系统。让我们考虑一个具有3个循环的系统。如图14所示,态1和态2分属各自的循环,而态3和态4属于同一个循环。


图14 一个态空间被分成若干循环

只要一个动力学定律把态空间分成几个这样的循环,系统就会记住从哪个循环开始演化的,这种记忆叫做守恒律。守恒律告诉我们,随着时间的流逝,有些事情保持不变。为了定量讨论守恒律,我们给每个循环一个数值,记作$Q$。在图15所示的例子里,3个循环分别标记为$Q=+1$、$Q=-1$和$Q=0$。不管$Q$值为多少,都不随时间变化,因为动力学定律不允许系统从一个循环跳到另外一个循环。简言之,$Q$守恒。

图15

图15 在每各循环上标上守恒量的数值(原文如此。根据文意,图上每个数字前应有“Q=”)

后面几章,我们会研究时间和态空间都连续的问题。我们对简单离散系统所做的讨论都可以类比到更真实的系统。几章之后,自会明白。

精确的极限

拉普拉斯可能对于预言世界过于乐观了,即便在经典物理范围内。他肯定也赞同,预言未来需要完全了解这个世界的动力学定律,还需要巨大的计算能力——他称之为“智者有强大的能力对这些数据进行分析”。但是,还有一个因素拉普拉斯低估了:知道完全精确的初始条件的能力。想象一个具有100万个面的色子,每个面都用差不多样子的符号标记,符号之间只有细微差别,这样的符号需要100万个。某个人如果知道了动力学定律,并且能够认出初始的符号,那么这个人就能够预言这个100万面的色子的未来。但是,如果拉普拉斯的智者如果眼神不好,他预言未来的能力就受到限制。

真实世界中,情况会更糟。态空间中的点不仅仅巨多,而是无穷多,还是连续的。换句话说,态空间是粒子坐标的实数集。实数非常密集,不管数值差别多小的两个实数之间都还有无穷多的实数。能分辨的最小实数差即实验的“分辨本领”,任何实验的分辨本领都是有限的。原则上我们不会无限精确地知道初始条件。在绝大多数情况下,初始条件(即初态)的极细微的差别都会导致演化历史有巨大差别。这种现象叫做叫做混沌。如果一个系统是混沌系统(绝大多数系统是混沌系统),则意味着不管分辨本领有多么强大,系统的可预测性也是有限的。绝对可预测性是无法达到的,原因很简单,我们的分辨本领是有限的。

标签: 经典物理, 经典力学, 态空间, 动力学定律, 决定论, 可逆, 守恒, 循环, 拉普拉斯, 混沌

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  1. 看着好复杂

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