耶鲁基础物理 6.6 重力势能



我们来看一个最常见的例子: 地面附近的引力,即重力,写为$\vec{F}=-mg\hat{j}=m\vec{g}$。

重力是不是保守力?

可以应用上节的(6.84)式判,$\frac{\partial F_x}{\partial y}=0= \frac{\partial F_y}{\partial x}$,所以,重力是保守力。

重力相应的势能$U$是什么样的呢?

根据$F_y=-\frac{\partial U}{\partial y}$,你会很容易地猜出来,$U=mgy$。

你也可以认为形式是$U=mgy+96$,不过,我们不加这些常数。根据机械能守恒定律,$K_1+U_1=K_2+U_2$,等号两边的$U$都加上96,不会有任何影响。我们已经知道,这一点在一维运动情形下是成立的。现在我要说的是,在二维空间,这仍然成立。

现在, 看看其应用。



图6.5 过山车之旅。

图6.5 为一辆过山车的轨道,形状起起伏伏。每个$x$处都有对应的高度$y(x)$,即过山车轮廓的函数,以及重力势能函数$U(x)=mgy(x)$。

过山车还受到其他力吗?

摩擦力。假如轨道非常光滑,可以忽略掉摩擦力。

过山车还受到轨道施加的法向力$\vec{N}$。

要是我们只想让过山车受到重力,之外没有其他力,可以把过山车直接从悬崖上推下去,但是,这对于游客的体验来说可不是太好。游乐场想让游客安全乘坐,要设计师设计了轨道。法向力$\vec{N}$还是要考虑的。

幸运的是,$\vec{N}$不做功,也就不必问它是不是保守力,势能为何了。

看图6.5,一辆过山车静止在顶点$A$,它的能量是多大?

过山车没有动能,只有势能。假设$A$处高度为$h$,则过山车重力势能为$mgh$,这也就是它打总能量$E_1=mgh$。

过山车沿着轨道上爬下滑过程中,总能量保持不变,函数图像为直线$E(x)=E_1$,如图6.5所示。

过山车自$A$下滑至$x$处,势能为$U_1(x)$,动能就为$K_1(x)=E_1-U_1(x)$,见图6.5。过山车下滑过程中,上下颠簸,动能和势能发生变化,但二者的总和保持不变,为$E_1$。

我们现在换个地方释放过山车,改在$B$点,过山车将沿着轨道运动,下坡时,速率增大,上坡时,速率减小,到$C$点处将会怎样?

将掉头回来。因为在这一点,势能等于总能量,没有动能让它继续前进。过山车将在$B$点和$C$点之间来来回回运动。

如果我们将过山车在$D$点静止释放,它的总能量也为$E_2$,它一直向下滑到底,不会在$C$到$D$之间运动,因为这$CD$这一段,势能大于总能量,动能将为负值,而这是不可能的。

在经典力学里,$CD$这一段是能量为$E_2$的粒子的运动禁区。

然而,在量于力学世界,能量为$E_2$的粒子可以从$BC$范围运动到$D$点,好像在$CD$之间有隧道,这种情形叫做“遂穿”。在量子力学里,粒子不是沿着两个观测点之间的连续轨道运动的。

回到那辆过山车。你可以利用机械能守恒定律求出它在轨道上任意点的速率。

4.7节考虑下面一个问题,如图4.6,过山车自高$H$处静止释放,刚好通过圆轨道,$H$最小为多少?



图4.6 过山车从高度$H$处沿光滑轨道滑下,进入竖直平面内的圆轨道。

我们在4.7节已经分析过,过山车刚好通过圆轨道,在圆轨道顶部的速率为$v=\sqrt{gR}$,由机械能守恒:

$$ \frac{1}{2}m 0^2+mgH=\frac{1}{2}mgR+mg(2R) \label{6.88}\tag{6.88} $$

$$ H=\frac{5}{2}R \label{6.89}\tag{6.89} $$

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