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用Matlab bvp4c 解带未知参数的常微分方程边值问题




要求解的方程选自Data-Driven Modeling Scientific Computation 一书的§7.7。

方程为:

\begin{equation*} y''+(100-\beta)y+\gamma y^3=0 \end{equation*}

边界条件:

\begin{equation*} \begin{split} y(-1)=&0\\ y(1)=&0\\ y(-1)=&0.1 \end{split} \end{equation*}

给定$\gamma=1$ 解 $\beta$ 和 $y(x)$。

程序如下:

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勒让德多项式用勒让德多项式展开

J. Electrost. 45, 123

如上图,两个带电球 A 和 B,考虑较简单的情况,电荷只分布在球面上,且电荷分布关于 $z$ 轴对称。

球外电势

\begin{equation}
\varphi_0=\sum_{n=0}^{\infty}\left [a_n\left(\frac{r_p}{r}\right)^{n+1}P_n(\cos\theta) + A_n\left(\frac{R_p}{R}\right)^{n+1}P_n(\cos\Theta)\right ]
\label{elecpot}
\end{equation}

式中两个勒让德多项式可以彼此展开:

\begin{equation}
R^{-n-1}P_n(\cos\Theta)=(-1)^n\sum_{k=0}^{\infty}S^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}r^k P_k(\cos\theta), r \lt S
\label{reexpansion1}
\end{equation}

\begin{equation}
r^{-n-1}P_n(\cos\theta)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kS^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}R^kP_k(\cos\Theta), R \lt S
\label{reexpansion2}
\end{equation}

上述再展开的证明,见 J. Electrost 36, 195,过程如下:

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