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带棱角物块一个棱角静止置于斜面上之后将如何运动?

球或圆柱体等截面为圆形的物体沿斜面的运动,很多标准的教科书都有详尽的论述。球或圆柱体沿斜面运动,摩擦力是根本影响因素。但是,带有棱角的物体沿斜面的运动,却甚少有讨论。

我们现在讨论带棱角物块一个棱角静止置于斜面上之后将如何运动。如图1所示。



图1 斜面上的物块的受力示意图。

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带棱角物块一个棱角静止置于斜面上之后将如何运动?

球或圆柱体等截面为圆形的物体沿斜面的运动,很多标准的教科书都有详尽的论述。球或圆柱体沿斜面运动,摩擦力是根本影响因素。但是,带有棱角的物体沿斜面的运动,却甚少有讨论。

我们现在讨论带棱角物块一个棱角静止置于斜面上之后将如何运动。



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耶鲁基础物理6.4 做功与路径



设与一维空间类似,有这样一种情况成立,即某个力的线积分仅依赖于起点和终点。我们就像在一维空间那样,将这个积分所得的结果记为$U_1-U_2$。最终会得到

$$ K_2+U_2=K_1+U_1 \label{6.60}\tag{6.60} $$

要得到这个公式,这个关系一定成立吗?

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耶鲁基础物理6.3二维空间中力做功与矢量点乘



对于一维运动,动能$K=\frac{1}{2}mv^2$,对动能求导,得

$$ \frac{\mathrm dK}{\mathrm dt}=mv\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=mva=Fv=F\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} \label{6.28}\tag{6.28} $$

两边可消去$\mathrm dt$,得

$$ \mathrm dK=F\mathrm dx \label{6.29}\tag{6.29} $$

两边积分,得

$$ \begin{align} K_2-K_1=&\int_{x_1}^{x_2}F(x)\mathrm dx \label{6.30}\tag{6.30} \\ =&U(x_1)-U(x_2)=U_1-U_2\label{6.31}\tag{6.31} \end{align} $$

整理得能量守恒定律:

$$ K_2+U_2=K_1+U_1 \label{6.32}\tag{6.32} $$

\eqref{6.31}、\eqref{6.32}两式成立的条件是力$F$只依赖于坐标$x$,与其他量,如速度$v$、加速度$a$等,无关。

现在,我们看看二维情形。

二维情况下,力和位移都是有两个分量的矢量,功的表达是什么样的?即如何将$\mathrm dW=F\mathrm dx$推广到二维?

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耶鲁基础物理6.2二元函数与偏导数



我们将在二维空间推导动能定理和能量守恒定律。我希望得到这样的关系:$K_1+U_1=K_2+U_2$,式中$U=U(x,y)$。

如何画二元函数$f(x,y)$的图像?

在$x-y$平面上一点$(x,y)$处沿与$x-y$平面垂直的方向上量度$f(x,y)$的距离,描出一个点,遍历$x-y$平面上所有点做此操作,描出的所有点构成一个曲面,这个曲面就是二元函数$f(x,y)$的图像。

自变量$x$和$y$变动一点,$f(x,y)$的函数值如何变化?

自变量有无限多种变动方式,可以沿$x$轴变动,也可以沿$y$轴变动,也可以沿两坐标轴之间的某个角度变动。

我们先看看自变量沿坐标轴变动,函数值的变化。

从点$(x,y)$变动到另一点$(x+\Delta x,y)$,函数值增量为$\Delta f=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$,$\Delta f$除以$\Delta x$,令$\Delta x \to 0$,得函数对$x$的偏导数

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耶鲁基础物理6.1微积分复习



图6.1 当$x$变化了$\Delta x$,函数的增量$\Delta f$可近似为 $\Delta f\approx f'(x)\Delta x$,$f'(x)=\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}$。实线为原来的函数,虚线为斜率为$f'(x)$的直线的线性近似。

本节简要介绍下微积分,为后面要讲的东西做一些数学准备。

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耶鲁基础物理5.3能量守恒定律



总结前文讨论,得

\begin{equation} K_2-K_1=\int_{x_1}^{x_2}F(x)\mathrm dx=G(x_2)-G(x_1)\equiv G_2-G_1 \label{5.10}\tag{5.10} \end{equation}

整理得

\begin{equation} K_2-G_2=K_1-G_1 \label{5.11}\tag{5.11} \end{equation}

现在,我们做一个细微的变化,引入函数

\begin{equation} U(x)=-G(x),\quad F(x)=-\frac{\mathrm dU}{\mathrm dx} \label{5.12}\tag{5.12} \end{equation}

于是,得到

\begin{equation} E_2\equiv K_2+U_2=K_1+U_1\equiv E_1 \label{5.13}\tag{5.13} \end{equation}

这就是能量守恒定律,其中$E=K+U$称为总机械能,$U$称为势能

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