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耶鲁基础物理6.4 做功与路径



设与一维空间类似,有这样一种情况成立,即某个力的线积分仅依赖于起点和终点。我们就像在一维空间那样,将这个积分所得的结果记为$U_1-U_2$。最终会得到

$$ K_2+U_2=K_1+U_1 \label{6.60}\tag{6.60} $$

要得到这个公式,这个关系一定成立吗?

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耶鲁基础物理6.3二维空间中力做功与矢量点乘



对于一维运动,动能$K=\frac{1}{2}mv^2$,对动能求导,得

$$ \frac{\mathrm dK}{\mathrm dt}=mv\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=mva=Fv=F\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} \label{6.28}\tag{6.28} $$

两边可消去$\mathrm dt$,得

$$ \mathrm dK=F\mathrm dx \label{6.29}\tag{6.29} $$

两边积分,得

$$ \begin{align} K_2-K_1=&\int_{x_1}^{x_2}F(x)\mathrm dx \label{6.30}\tag{6.30} \\ =&U(x_1)-U(x_2)=U_1-U_2\label{6.31}\tag{6.31} \end{align} $$

整理得能量守恒定律:

$$ K_2+U_2=K_1+U_1 \label{6.32}\tag{6.32} $$

\eqref{6.31}、\eqref{6.32}两式成立的条件是力$F$只依赖于坐标$x$,与其他量,如速度$v$、加速度$a$等,无关。

现在,我们看看二维情形。

二维情况下,力和位移都是有两个分量的矢量,功的表达是什么样的?即如何将$\mathrm dW=F\mathrm dx$推广到二维?

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耶鲁基础物理6.2二元函数与偏导数



我们将在二维空间推导动能定理和能量守恒定律。我希望得到这样的关系:$K_1+U_1=K_2+U_2$,式中$U=U(x,y)$。

如何画二元函数$f(x,y)$的图像?

在$x-y$平面上一点$(x,y)$处沿与$x-y$平面垂直的方向上量度$f(x,y)$的距离,描出一个点,遍历$x-y$平面上所有点做此操作,描出的所有点构成一个曲面,这个曲面就是二元函数$f(x,y)$的图像。

自变量$x$和$y$变动一点,$f(x,y)$的函数值如何变化?

自变量有无限多种变动方式,可以沿$x$轴变动,也可以沿$y$轴变动,也可以沿两坐标轴之间的某个角度变动。

我们先看看自变量沿坐标轴变动,函数值的变化。

从点$(x,y)$变动到另一点$(x+\Delta x,y)$,函数值增量为$\Delta f=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$,$\Delta f$除以$\Delta x$,令$\Delta x \to 0$,得函数对$x$的偏导数

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耶鲁基础物理6.1微积分复习



图6.1 当$x$变化了$\Delta x$,函数的增量$\Delta f$可近似为 $\Delta f\approx f'(x)\Delta x$,$f'(x)=\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}$。实线为原来的函数,虚线为斜率为$f'(x)$的直线的线性近似。

本节简要介绍下微积分,为后面要讲的东西做一些数学准备。

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耶鲁基础物理5.3能量守恒定律



总结前文讨论,得

\begin{equation} K_2-K_1=\int_{x_1}^{x_2}F(x)\mathrm dx=G(x_2)-G(x_1)\equiv G_2-G_1 \label{5.10}\tag{5.10} \end{equation}

整理得

\begin{equation} K_2-G_2=K_1-G_1 \label{5.11}\tag{5.11} \end{equation}

现在,我们做一个细微的变化,引入函数

\begin{equation} U(x)=-G(x),\quad F(x)=-\frac{\mathrm dU}{\mathrm dx} \label{5.12}\tag{5.12} \end{equation}

于是,得到

\begin{equation} E_2\equiv K_2+U_2=K_1+U_1\equiv E_1 \label{5.13}\tag{5.13} \end{equation}

这就是能量守恒定律,其中$E=K+U$称为总机械能,$U$称为势能

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耶鲁基础物理5.1能量概论 5.2动能定理



5.1 能量概论

能量守恒定律是一条生命力顽强的定律。当适用于亚原子范围的量子力学问世后 ,牛顿力学许多弥足珍贵的概念都被抛弃了。你有所了解吗?

比如,在量子世界,粒子不再有确定的位置和 速度,粒子并不沿着连续的轨道运动。你的生活经验和牛顿力学告诉你,粒子两次现身之间一定有一条连续的轨道相连,但是,在量子世界里,事实不是这样的。

在量子世界,牛顿力学许多思想都被抛弃了,然而,能量守恒观点却经受住了量子革命的考验而幸存下来。

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耶鲁基础物理4.7圆周运动 转圈



图4.5 左图为物体被绳子吊着做圆周运动,在水平面内左半径为$R$的圆周运动,吊绳与竖直方向夹角为$\theta$。右图为赛车在左半径为$R$的圆形赛道上行驶,赛道倾角为$\theta$。符号$\otimes$表示物体向纸面以内运动。

现在我们研究各种圆周运动。

首先看图4.5中的A图,物体被绳子吊着做圆周运动,绳子与竖直方向有个夹角$\theta$,这个角度与圆周运动速率为$v$和轨道半径为$R$有什么关系?

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耶鲁基础物理4.5斜面



图4.3 物体位于斜面上。左图中无摩擦力,右图中有摩擦力。

斜面进入物理习题是物理学习噩梦的开始。但我们还是要讲斜面。为什么?成心给学生找罪受?

不是为了难为学生,是为成就学生,这是入门的门票,学懂这个,才可能学懂更高层次的内容。

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