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勒让德多项式用勒让德多项式展开

J. Electrost. 45, 123

如上图,两个带电球 A 和 B,考虑较简单的情况,电荷只分布在球面上,且电荷分布关于 $z$ 轴对称。

球外电势

\begin{equation}
\varphi_0=\sum_{n=0}^{\infty}\left [a_n\left(\frac{r_p}{r}\right)^{n+1}P_n(\cos\theta) + A_n\left(\frac{R_p}{R}\right)^{n+1}P_n(\cos\Theta)\right ]
\label{elecpot}
\end{equation}

式中两个勒让德多项式可以彼此展开:

\begin{equation}
R^{-n-1}P_n(\cos\Theta)=(-1)^n\sum_{k=0}^{\infty}S^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}r^k P_k(\cos\theta), r \lt S
\label{reexpansion1}
\end{equation}

\begin{equation}
r^{-n-1}P_n(\cos\theta)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kS^{-(k+n+1)}\frac{(k+n)!}{k!n!}R^kP_k(\cos\Theta), R \lt S
\label{reexpansion2}
\end{equation}

上述再展开的证明,见 J. Electrost 36, 195,过程如下:

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两个状态方程,哪个更合理?

《现代统计力学导论》第一章练习 1.1, 1.2,1.4



1.1 列出一些两种能量流动形式的熟悉例子(例如,冰融化的两种方式——搅拌或太阳晒)。

解答:
冬天暖手:搓手或捧热水杯。
热水器:电热水器或燃气热水器

1.2 一根橡皮带的状态方程是

\begin{equation*} S=L_0\gamma \left( \frac{\theta E}{L_0} \right)^{1/2} -L_0\gamma\left[ \frac{1}{2}\left( \frac{L}{L_0} \right)^2+\frac{L_0}{L}-\frac{3}{2}\right], L_0=nl_0 \end{equation*}

\begin{equation*} S=L_0\gamma e^{\theta nE/L_0} -L_0\gamma\left[ \frac{1}{2}\left( \frac{L}{L_0} \right)^2+\frac{L_0}{L}-\frac{3}{2}\right], L_0=nl_0 \end{equation*}

其中 $\gamma$、$l_0$、$\theta$ 都是常数,$n$ 是物质的量,$L$ 是橡皮带的长度,$S$ 是熵,$E$ 是能量。问上面两个方程哪个更符合实际?为什么?对于所选的状态方程,导出张力 $f$ 对温度 $T$ 和 $L/n$ 的依赖关系,即确定 $f(T,L/n)$。

解答:

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