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耶鲁基础物理 7.2 万有引力



牛顿提出的运动定律是,力与加速度,而非速度,联系在一起。如果你观察一颗运 动的行星,认为它由于受到了力的作用而具有了速度,那么,你对力的含义没有把握到位。另一方面,如果计算行星的加速度,你就会发现,在任意时刻,加速度都 是指向太阳的。如果所有行星的加速度都指向太阳,那么,显然,加速度就是太阳造成的。于是,自然会想到太阳对行星有力的作用,使行星轨道弯曲成一个椭圆,问题了,找到这个力,看看这个力有什么性质?

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耶鲁基础物理 7.1 开普勒定律



现在, 我们讨论与保守力相关的一个最著名问题:天体在万有引力作用下的运动。

这是我们处理问题方面重大的飞跃,超越斜面、滑轮等等诸如此类的问题,我们将了解行星是如何围绕太阳运转的。这是一个很大很大的问题,对吧?方程里的$m$不再是滑轮或者小物块的质量,而是木星与太阳的质量。

我们将要求解宇宙学尺度上的问题,还要学很多知识吗?

不需要,已经掌握的知识差不多够了。

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质点沿粗糙球面滑下的命运(补充内容后重发)



美国《物理教师》(Physics Teachers)杂志研究过质点从球面顶部以初速度$v_0$下滑的问题,得到了下滑到不同位置处质点的速度,并指出,质点最终可能会脱离球面,也可能会停在球面上。发生这两种情形具体条件是什么?文章没有给出,我们探究一下这个问题。

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耶鲁基础物理 6.5 保守力



保守力很奇妙,可以对应势能函数,进而得到能量守恒定律。能量守恒定律很方便我们处理问题。

但是,如果随意地挑出一个力,有很大可能,力做功与路径相关。

有没有做功与路径无关的保守力呢?如果有,如何才能找出它们呢?

不要绝望。现在直接告诉你一个方法:

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Mathematica 画受力示意图

代码:

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g1 = Graphics[Line[{{0, 0}, {20, 0}}]];
g2 = Graphics[Line[{{0, 0}, {15, 15}}]];
g3 = Graphics[{Opacity[0.2], Blue,
Rotate[Rectangle[{8, 8}, {12, 12}], 45 Degree, {Left, Bottom}]}];
g4 = Graphics[{Blue, Thickness[0.01], Arrow[{{8, 10.8}, {8, 2.8}}]}];
g5 = Graphics[{Cyan, Thickness[0.01], Arrow[{{8, 10.8}, {3.8, 15}}]}];
g6 = Graphics[{Orange, Thickness[0.01],
Arrow[{{2.4, 5.2}, {6.6, 9.4}}]}];
g7 = Graphics[
Text[StyleForm["重力", FontSize -> 14, FontWeight -> "Bold"], {9,
6.8}, {0, 1}, {0, -1}]];
g8 = Graphics[
Text[StyleForm["支持力", FontSize -> 14, FontWeight -> "Bold"], {6,
13}, {0, -1}, {1, -1}]];
g9 = Graphics[
Text[StyleForm["摩擦力", FontSize -> 14, FontWeight -> "Bold"], {4.5,
7.2}, {0, 1}, {1, 1}]];
Show[g1, g2, g3, g4, g5, g6, g7, g8, g9]

运行结果:

标量、矢量和笛卡尔张量的解析定义

设$(x_1,x_2,x_3)$和$(x'_1,x'_2,x'_3)$是两个固定的笛卡尔坐标系,二者之间的变换关系为:

\begin{equation} x'_i=\beta_{ij}x_j \label{x'x} \end{equation}

逆变换为:

\begin{equation} x_i=\beta_{ji}x'_j \label{xx'} \end{equation}

某量是标量、矢量还是笛卡尔张量,取决于该量的分量是如何用$x_1,x_2,x_3$来定义的,以及如何随坐标系变换而变换的。

标量只有一个分量,$\Phi(x_1,x_2,x_3)$,坐标系变换后,$\Phi(x_1,x_2,x_3)$变为$\Phi'(x'_1,x'_2,x'_3)$,有如下关系:

\begin{equation} \Phi(x_1,x_2,x_3)=\Phi'(x'_1,x'_2,x'_3) \label{scalar} \end{equation}

矢量,或一阶张量,有三个分量,$\xi_i$,坐标系变换后,$\xi_i(x_1,x_2,x_3)$变为$\xi'_i(x'_1,x'_2,x'_3)$,有如下关系:

\begin{equation} \begin{cases} \xi'_i(x'_1,x'_2,x'_3)=&\xi_i(x_1,x_2,x_3)\beta_{ik} \\ \xi_i(x'_1,x'_2,x'_3)=&\xi'_i(x_1,x_2,x_3)\beta_{ki} \end{cases} \label{vector} \end{equation}

推广到两个下标,这样的量有9个分量,称为二阶张量,满足如下关系:

\begin{equation} \begin{cases} t'_{ij}(x'_1,x'_2,x'_3)=&t_{mn}(x_1,x_2,x_3)\beta_{im}\beta_{jn} \\ t_{ij}(x_1,x_2,x_3)=&t'_{mn}(x'_1,x'_2,x'_3)\beta_{mi}\beta_{nj} \end{cases} \label{tensor} \end{equation}

可以进一步推广至更高阶张量。

这里张量的定义基于由一个笛卡儿直角坐标系转换到另一个笛卡儿直角坐标系,这样定义的张量称为笛卡儿张量。