耶鲁基础物理6.4 做功与路径



设与一维空间类似,有这样一种情况成立,即某个力的线积分仅依赖于起点和终点。我们就像在一维空间那样,将这个积分所得的结果记为$U_1-U_2$。最终会得到

$$ K_2+U_2=K_1+U_1 \label{6.60}\tag{6.60} $$

要得到这个公式,这个关系一定成立吗?

不一定,对于摩擦力就不成立。

现在不考虑讨厌的摩擦力

在一维情形,力$F$如果只是位置$x$的函数,力$F(x)$对$x$积分一定可写成另一个函数$G(x)=-U(x)$在积分上限的值减去在积分下限的值,两函数关系为$F(x)=\frac{\mathrm dG(x)}{\mathrm dx}=-\frac{\mathrm dU(x)}{\mathrm dx}$。

类似结论在在二维情况下是否依然成立?

答案是否,即便不考虑摩擦力也不行。很令人遗憾。

在二维空间,从点1到达点2的路径有无数,力$\boldsymbol F(\boldsymbol r)$沿着路径积分,$\int_1^2 \boldsymbol F \cdot \mathrm d \boldsymbol r$,不仅与初末端点有关,还与具体路径有关,积分结果就不能写成$G(2)-G(1)=U(1)-U(2)$。

其实,在一维情况下,从$x_1$走到$x_2$的路径也是有无数多的。例如,我们可以直接从$x_1$走到$x_2$,也可以走过头到达$x_3$点,然后再返回到$x_2$。但是,积分$\int_{x_1}^{x_2}F(x)\mathrm dx$的结果都是相同的,只要力$F$仅仅是$x$的函数,因为从$x_2$到$x_3$这一段和从$x_3$返回$x_2$过程中,$F(x)$是相同的,而$\mathrm dx$改变了符号,所以,两部分积分正好抵消。

在这个意义上,一维情形下,只要力$F$仅仅是$x$的函数,就是保守力。

一维情形下,摩擦力$f$不是保守力,因为它还是速度的函数$f(x,v(x))$,一个往返过程中,不仅$\mathrm dx$会改变符号,$f(x,v(x))$也改变符号,$f(x,v(x))$对$x$积分,往返过程的两段不会抵消,而是加在一起。

现在,我们说二维情况。我将证明,一般的力做功与路径有关。

比如,我随便写一个个力:

$$ \boldsymbol F(x,y)= 2x^2y^2\boldsymbol i+xy^2\boldsymbol j \label{6.61}\tag{6.61} $$

我们现在看看,这个力做功否仅依赖于起点和终点?是否与两点间运动路径的细节相关?

我们先选好起点和终点,比如将起点选为原点$(0,0)$,终点选为$(1,1)$点。我们再选择两条路径,如图6.4所示。按照路径1,我先沿水平方向走到$(1,0)$点,然后竖直向上到达$(1,1)$点。路径2,我先竖直向上到达$(0,1)$点,然后再沿水平方向走到$(1,1)$点。

我们先算算沿着第一条路径力做的功。

我要先在水平线段上做$\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol r$的积分。如果我沿$x$轴运动了一点点,则

$$ \mathrm d\boldsymbol r= \mathrm dx\boldsymbol i \label{6.62}\tag{6.62} $$

因为是在x轴上,所以有$y=0$,故

$$ \boldsymbol F(x,y=0)=2x^2y^2\boldsymbol i+xy^2\boldsymbol j=0 \label{6.63}\tag{6.63} $$

$$ \boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol r=0 \label{6.64}\tag{6.64} $$

即在这段路径上,功为零,这是因为这段路径上力本身为零。

下面计算下一段路径,即从$(1,0)$点到$(1,1)$点这段竖直路径,此时,

$$ \mathrm d\boldsymbol r= \mathrm dy\boldsymbol j \label{6.65}\tag{6.65} $$

因为在这段路径上$x=1$,故

$$ \boldsymbol F(x=1,y)=2y^2\boldsymbol i+y^2\boldsymbol j \label{6.66}\tag{6.66} $$

$$ \boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol r=y^2\mathrm dy \label{6.67}\tag{6.67} $$

$$ \int \boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol r=\int_0^1y^2\mathrm dy=\frac{1}{3} \label{6.68}\tag{6.68} $$

所以,沿整个路径力做的功为$W_1=0+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$。

下面看第二条路径。

在竖直段上,力做功多少?

因为$x=0$,所以力$\boldsymbol F=0$,力做的功也为零。

对于水平的那段,力做功多少?

$$ \mathrm d\boldsymbol r= \mathrm dx\boldsymbol i \label{6.69}\tag{6.69} $$

因为$y=1$,故

$$ \boldsymbol F(x,y=1)=2x^2\boldsymbol i+x\boldsymbol j \label{6.70}\tag{6.70} $$

$$ \boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol r=2x^2\mathrm dx \label{6.71}\tag{6.71} $$

$$ \int \boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol r=\int_0^1 2x^2\mathrm dx=\frac{2}{3} \label{6.72}\tag{6.72} $$

所以,沿整个路径力做的功为$W_2=0+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$。

$W_1\neq W_2$,力\eqref{6.61}做功与路径有关。

像这样做功与路径有关的力,称为非保守力,这种力没有势能函数相对应。

对于能量守恒的探求,引导我们寻找功与路径无关的力,这样的力叫做保守力

这样的力能找到吗?

标签: 势能, 保守力

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