分类 科研笔记 下的文章

主方程和细致平衡

本文承接马尔可夫过程一文。

研究体系居于某构型 $C$ 的概率的时间演化。

最简单的情形,时间是离散的,构型也是离散的。$P(C,t)$ 为体系在 $t$ 时刻居于构型 $C$ 的概率。$P(C,t)$ 的时间演化为:

\begin{equation}
P(C,t+1)=\sum_{C'}T(C|C')P(C',t)
\label{Pt+1}
\end{equation}

其中 $T(C|C')$ 为转移概率,见马尔可夫过程

连续时间演化过程,可以由离散时间演化方程取无穷小时间步 $dt$ 来得到。$dt\rightarrow 0$ 时,转移概率 $T(C|C')$ 有

\begin{equation}
T(C|C')=W(C|C')dt+\mathcal O(dt^2) \quad if \quad C' \neq C
\label{conneq}
\end{equation}

\begin{equation}
T(C|C)=1-\sum_{C'(\neq C)}W(C'|C)dt+\mathcal O(dt^2)
\label{coneq}
\end{equation}

将\eqref{conneq}、\eqref{coneq}两式代入\eqref{Pt+1}式,有

\begin{equation}
P(C,t+dt)=\sum_{C'(\neq C)}W(C|C')dtP(C',t) + \left (1-\sum_{C'(\neq C)}W(C'|C) \right )P(C,t)
\label{Pt+dt}
\end{equation}

上式左边展开至 $dt$ 一阶项,

\begin{equation}
P(C,t+dt)=P(C,t)+\frac{dP}{dt}(C,t)dt+\mathcal O(dt^2)
\label{expandPt+dt}
\end{equation}

将\eqref{expandPt+dt}式代入\eqref{Pt+dt}式,得

\begin{equation}
\frac{dP}{dt}(C,t)=-P(C,t)\sum_{C'(\neq C)}W(C'|C) + \sum_{C'(\neq C)}W(C|C')P(C',t)
\label{master}
\end{equation}

上式右边第一项是从构型 $C$ 变成其他构型的速率,第二项为从各种构型变成构型 $C$ 的速率。

由主方程\eqref{master}的顶态解,$\frac{dP}{dt}(C,t)=0$,有

\begin{equation*} \sum_{C'(\neq C)}\left [-W(C'|C)P(C) + W(C|C')P(C')\right ]=0 \end{equation*}

一些随机过程里,上式方括号对所有 $C'$ 都成立,即

\begin{equation}
W(C'|C)P(C) = W(C|C')P(C')
\label{detailbalance}
\end{equation}

此即为细致平衡。

分子尺度上的物理过程一般满足细致平衡,这反映的是微观可逆性。

轴对称体系泊松-玻尔兹曼方程的解

体系为无限长带电圆柱,电荷线密度为$\lambda$,无外加盐。泊松-玻尔兹曼方程形式为

\begin{equation*} y''+\frac{y'}{r}=\kappa^2 e^y \end{equation*}

边界条件为

\begin{equation*} \begin{split} y'(r_0)&=-2\frac{\xi}{r_0} \\ y'(R)&=0 \end{split} \end{equation*}

其中$\xi=\lambda l_B/e$。

方程的解为

\begin{equation*} y(r)=-2\ln\left [\frac{\kappa r}{\sqrt{2}\gamma}\cos\left (\gamma\ln\frac{r}{R_M} \right ) \right ] \end{equation*}

其中常数由边界条件确定,满足

\begin{equation*} \begin{split} \gamma\ln\frac{r_0}{R_M}&=\arctan \left (\frac{1-\xi}{\gamma} \right )\\ \gamma\ln\frac{R}{R_M}&=\arctan \left (\frac{1}{\gamma} \right ) \end{split} \end{equation*}

来源:Macromolecules 2000, 33, 199