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用OHAM方法解一个一阶非线性常微分方程

OHAM方法见以前的博文:OHAM解非线性微分方程基本过程

本文我们用此方法解一个一阶非线性常微分方程,见文献Application of Optimal Homotopy Asymptotic Method for solving nonlinear equations arising in heat transfer



方程为

\begin{equation} (1+\epsilon u)\frac{du}{dx}+u=0,\quad u(0)=1, \quad x\in [0,\infty) \label{ex1eq} \end{equation}

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线性4阶泊松-费米方程的解

4阶泊松-费米方程为:

\begin{equation} \frac{d^2\phi}{dx^2}-\delta_c^2\frac{d^4\phi}{dx^4}=\frac{\sinh \phi}{1+2\gamma \sinh^2 \phi/2}=\rho(\phi) \label{Poisson-Fermi4} \end{equation}

低电势极限下,$\phi \ll 1$,方程\eqref{Poisson-Fermi4}右边为 $\phi$,方程为

\begin{equation} \delta_c^2\frac{d^4\phi}{dx^4}-\frac{d^2\phi}{dx^2}+\phi=0 \label{LPoisson-Fermi4} \end{equation}

这是一个高阶常系数线性常微分方程,下面给出解析解。

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4阶泊松-费米方程数值求解

常见于离子液体等带电软物质体系的4阶泊松-费米方程:

\begin{equation} \frac{d^2\phi}{dx^2}-\delta_c^2\frac{d^4\phi}{dx^4}=\frac{\sinh \phi}{1+2\gamma \sinh^2 \phi/2}=\rho(\phi) \label{Poisson-Fermi2} \end{equation}

边界条件:

\begin{equation} \begin{split} \phi(0)=&V_0 \\ \phi'''(0)=&0 \\ \phi(\infty)=&0\\ \phi'(\infty)=&0 \end{split} \label{BC2} \end{equation}

下面我们用bvp4c 解方程,重复出文献 Double Layer in Ionic Liquids: Overscreening versus Crowding中 FIG. 2(a) 中的虚线。

依次取 $V_0=1, 10, 100$,解方程,程序如下:

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泊松-费米方程数值求解

常见于离子液体等带电软物质体系的泊松-费米方程

\begin{equation} \frac{d^2\phi}{dx^2}=\frac{\sinh \phi}{1+2\gamma \sinh^2 \phi/2}=\rho(\phi) \label{Poisson-Fermi2} \end{equation}

边界条件:

\begin{equation} \begin{split} \phi(0)=&V_0 \\ \phi(\infty)=&0 \end{split} \label{BC2} \end{equation}

下面我们用bvp4c 解方程,重复出文献 Double Layer in Ionic Liquids: Overscreening versus Crowding中 FIG. 2(a) 中的虚线。

依次取 $V_0=1, 10, 100$,解方程,程序如下:

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