DJM 解方程

参考文献:J. Math. Anal. Appl. 316 (2006) 753–763

介绍一种得到方程半解析解的一种方法。

方法

代数方程或微分方程可化为如下形式:

\begin{equation} y=N(y)+f \label{genfunc} \end{equation}

设解具有如下级数形式:

\begin{equation} y=\sum_{i=0}^{\infty}y_i \label{yser} \end{equation}

非线性算符可分解为如下形式:

\begin{equation} N\left(\sum_{i=0}^{\infty}y_i\right)=N(y_0)+\sum_{i=1}^{\infty}\left[N\left(\sum_{j=0}^{i}y_j\right)-N\left(\sum_{j=0}^{i-1}y_j\right) \right ] \label{Nop} \end{equation}

讲\eqref{yser}和\eqref{Nop}代入\eqref{genfunc}式,得:

\begin{equation} \sum_{i=0}^{\infty}y_i=f+N(y_0)+\sum_{i=1}^{\infty}\left[N\left(\sum_{j=0}^{i}y_j\right)-N\left(\sum_{j=0}^{i-1}y_j\right) \right ] \label{yserfunc} \end{equation}

得如下递推关系:

\begin{equation} \begin{split} y_0=& f \\ y_1=& N(y_0) \\ y_{m+1}=& N(y_0+y_1+\cdots +y_m)-N(y_0+y_1+\cdots +y_{m-1}),\quad m=1,2,\cdots \end{split} \label{recurrence} \end{equation}

方程的解:

\begin{equation} y=f+N\left(\sum_{i=1}^{\infty}y_i\right)=\sum_{i=0}^{\infty}y_i \label{yres} \end{equation}

算例

例1 一阶线性常微分方程

解微分方程:
方程的解:

\begin{equation} y'=-y^2, y(1)=1 \label{ex1} \end{equation}

将方程积分一次,得:

\begin{equation} y=1-\int_1^x y^2 \mathrm dx \label{ex1func} \end{equation}

根据\eqref{recurrence},有:

\begin{equation} \begin{split} y_0=& 1 \\ y_1=& N(y_0)=-\int_1^x y_0^2 \mathrm dx =1-x\\ y_2=&N(y_0+y_1)-N(y_0)=-\int_1^x (y_0+y_1)^2-(1-x)=\frac{4}{3}-3x-2x^2+\frac{x^3}{3} \\ y_3=&\frac{113}{63}-\frac{64x}{9}+\frac{34x^2}{3}-\frac{85x^3}{9}+\frac{41x^4}{9}-\frac{4x^5}{3}+\frac{2x^6}{9}-\frac{x^7}{63} \\ \vdots \end{split} \label{yiex1} \end{equation}

截断到第六项,$y=\sum_{i=0}^5y_i$,与精确解$y=1/x$很接近。

例2 线性沃尔泰拉积分方程

积分方程:

\begin{equation} y(x)=\int_0^x\frac{1+y(t)}{1+t}\mathrm dt \label{ex2} \end{equation}

根据\eqref{recurrence},有:

\begin{equation} \begin{split} y_0=& 0 \\ y_1=& N(y_0)=\int_0^x\frac{1+0}{1+t}\mathrm dt =\ln(1+x)\\ y_2=&N(y_0+y_1)-N(y_0)=\int_0^x\frac{1+\ln(1+t)}{1+t}\mathrm dt-\int_0^x\frac{1}{1+t}\mathrm dt \\ =&\int_0^x\frac{\ln(1+t)}{1+t}\mathrm dt=\frac{\ln^2(1+x)}{2!} \\ y_{m+1}=& N(y_0+y_1+\cdots +y_m)-N(y_0+y_1+\cdots +y_{m-1})=\frac{\ln^m(1+x)}{m!} ,\quad m=1,2,\cdots \end{split} \label{yiex2} \end{equation}

因此,$y(x)=\sum_{i=1}^{\infty}y_i=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\ln^i(1+t)}{i!}=\exp[\ln(1+x)]-1=x$

例3 非线性沃尔泰拉积分方程

积分方程:

\begin{equation} y(x)=e^x-\frac{xe^x}{3}+\frac{x}{3}+\int_0^xxy^3(t)\mathrm dt \label{ex3} \end{equation}

不直接使用迭代格式\eqref{recurrence},而是按如下方式迭代:

\begin{equation} \begin{split} y_0=& e^x \\ y_1=& -\frac{xe^x}{3}+\frac{x}{3}+N(y_0)=-\frac{xe^x}{3}+\frac{x}{3}+\int_0^xxe^3(t)\mathrm dt =0\\ y_2=&N(y_0+y_1)-N(y_0)=0 \\ y_{m+1}=& 0 ,\quad m=1,2,\cdots \end{split} \label{yiex3} \end{equation}

于是,方程\eqref{ex3}的解是$y(x)=e^x$,正是方程的精确解。

例4 非线性常微分方程组

方程组为:

\begin{equation} \begin{split} y'_1(x)=&2y_2^2,\quad y_1(0)=1 \\ y'_2(x)=&e^{-x}y_1,\quad y_2(0)=1 \\ y'_3(x)=& y_2+y_3,\quad y_3(0)=0 \end{split} \label{ex4} \end{equation}

积分一次,得:

\begin{equation} \begin{split} y_1(x)=&1+\int_0^x2y_2^2\mathrm dt \\ y_2(x)=&1+\int_0^xe^{-t}y_1\mathrm dt \\ y_3(x)=& \int_0^x(y_2+y_3)\mathrm dt \end{split} \label{itex4} \end{equation}

迭代格式:

\begin{equation} \begin{split} y_{1,0}(x)=&1\\ y_{2,0}(x)=&1\\ y_{3,0}(x)=&0\\ y_{1,1}(x)=&N_1(y_{1,0},y_{2,0},y_{3,0})=\int_0^x2\mathrm dt=2x \\ y_{2,1}(x)=&N_2(y_{1,0},y_{2,0},y_{3,0})=\int_0^xe^{-t}\mathrm dt=1-e^{-x} \\ y_{3,1}(x)=&N_3(y_{1,0},y_{2,0},y_{3,0})=\int_0^x \mathrm dt=x\\ y_{i,m}(x)=&N_i(y_{1,0}+y_{1,1}+\cdots +y_{1,m},y_{2,0}+y_{2,1}+\cdots +y_{2,m},y_{3,0}+y_{3,1}+\cdots +y_{3,m})-\\ &N_i(y_{1,0}+y_{1,1}+\cdots +y_{1,m-1},y_{2,0}+y_{2,1}+\cdots +y_{2,m-1},y_{3,0}+y_{3,1}+\cdots +y_{3,m-1}) \end{split} \label{yitex4} \end{equation}

截断至第6项,与精确解很接近。

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