耶鲁基础物理 6.5 保守力



保守力很奇妙,可以对应势能函数,进而得到能量守恒定律。能量守恒定律很方便我们处理问题。

但是,如果随意地挑出一个力,有很大可能,力做功与路径相关。

有没有做功与路径无关的保守力呢?如果有,如何才能找出它们呢?

不要绝望。现在直接告诉你一个方法:

  • 任取一个函数$U(x,y)$
  • 与之相应的保守力为:

$$\vec{F}=-\hat{i}\frac{\partial U}{\partial x}-\hat{j}\frac{\partial U}{\partial y}\label{6.73}\tag{6.73}$$

  • 与这个保守力相应的势能函数就是$U$本身。

举一个例子。

$$U(x,y)= xy^3 \label{6.74}\tag{6.74}$$ 

$$\frac{\partial U}{\partial x}=y^3\label{6.75}\tag{6.75}$$

$$\frac{\partial U}{\partial y}=3xy^2\label{6.76}\tag{6.76}$$

$$\vec{F}=-\hat{i}y^3-\hat{j}3xy^2\label{6.77}\tag{6.77}$$

我来证明一下这个方法可行。

设发生了一个由$(x,y)$到$(x+\mathrm dx,y+\mathrm dy)$微小偏移,在所有增量均趋于零的极限下,得到函数$U$的增量为:

$$\mathrm dU=\frac{\partial U}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial U}{\partial y}\mathrm dy\label{6.78}\tag{6.78}$$

由\eqref{6.73}式,有:

$$ \mathrm dU=-F_x\mathrm dx-F_y\mathrm dy=-\vec{F} \cdot \mathrm d\vec{r}\label{6.79}\tag{6.79}$$

将所有增量加起来,即将上式积分,得

$$ U(1)-u(2)= \int_1^2 \vec{F} \cdot \mathrm d\vec{r}=K_2-K_1 \label{6.80} \tag{6.80} $$

这里,$U$为势能函数,此式正是能量守恒定律。

这样,我构造出了一个力$\vec{F}$,它点乘元位移$\vec{F}\cdot \mathrm d\vec{r}$是某个函数$U$的增量。将所有的$\vec{F}\cdot \mathrm d\vec{r}$相加,我将会得到函数$U$从起点到终点的增量。现在,你体会到了为什么某些积分与路径无关了吗?

先不要管积分,打个比方说明一下。

想象我处在丘陵地带。我从一个点出发,到达另外一个点。我每走一段就查看一下高度的变化,将上山记为正,下山为负,这就像那个$\mathrm dU$。我将它们都加在一起。总的高度变化就是起点与终点的高度差。

现在,你与我从同一个点出发,但是走不同的路径,你转遍了所有的地方,但是最终停在我的终点。如果比较我们走过的路程,你我结果当然是不一样的。但是,如果查看每一步高度的变化,并且将它们都加在一起,你我的结果不然是相同的。

重复一下,如果查看的是一个高度函数的增量,那么,所有高度变化的总和只不过是终点的高度减去起点的高度,与你我走过的路径是没有关系的。反过来,由高度函数出发,你构造出一个力$\vec{F}$,它的各个分量是高度函数的偏导数,那么,$\vec{F}\cdot \mathrm d\vec{r}$给出的是每个线元上高度的增量,做线积分就可以得到起点和终点间的高度差,这与路径无关。

保守力对于闭合路径的积分,起点和终点恰好重合在一起,这是计算$U$在同一个点上的增量,结果当然是零,因此,保守力对于任意的闭合路径均为零。即如果$\vec{F}$是保守力,则

$$\oint \vec{F}\cdot \mathrm d\vec{r}=0 \label{6.81}\tag{6.81}$$

是否还可以用其他方法构造出保守力呢?

不可以!可以证明每个保守力均可以通过对某个函数进行微分而获得。

大家是否记得,上一节,我们随意写了一个力,对它沿着两条路径进行积分得到了不同的答案吗?那时我的处境有多么不妙,要是我们随手写出的力恰好是保守力,结局会如何呢?那我会非常尴尬,我得到的答案将是相同的。要避免这种难堪的出现,我要先确定随手写出的力不是保守力。

我怎样知道我们随手写的那个力是不是保守力呢?

我会问自己:“是否可能存在一个函数$U$,它的导数的负值与$\hat i$和$\hat j$组合之后等于$\hat i2x^2y^2+\hat jxy^2$?我知道答案将是否定的,因为如果将这个函数$U$对$y$求一次导数得到$F_y$,那么,$F_y$中$y$的指数会比$F_x$中$y$的指数小1。然而,在我们的例子中,这两者的,指数是相同的。

把力沿路径积分,只要找到两个路径,积分结果不同,就可以判定这个力不是保守力,就像我们上一节所做的那样。任意取两个固定点,将力沿其间的两条其至是两千条路径积分,即使都得到相同的结果,也不意味着这个力一定是保守力,可能只是凑巧,你找到这些路径,积分都一样。换其他路径,或换路径初末点,可能得到不同的积分结果,证明这个力是作保守力。

但是,如果某个力确实是保守力,怎么能证明这一点呢?这里我来说一个简单的方法。

如果$\vec{F}$是保守力,它一定来自一个函数$U$的偏导数,见\eqref{6.73}式,于是有

$$ \frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial^2 U}{\partial y\partial x} \label{6.82}\tag{6.82} $$

$$ \frac{\partial F_y}{\partial x}=\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y} \label{6.83}\tag{6.83} $$

因为$\frac{\partial^2 U}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}$,所以有

$$ \frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial F_y}{\partial x} \label{6.84}\tag{6.84} $$

给你一 个力, 并且问你: “它是不是保守力?” 你只要按上式求两个导数,即可判断出来。

比如,判断下面这个力是不是保守力,

$$ \vec{F}(x,y)=2x^2y^2\hat{i}+xy^2\hat{j} \label{6.85}\tag{6.85} $$

根据\eqref{6.84}式,有

$$ \frac{\partial F_x}{\partial y}=4x^2y\neq \frac{\partial F_y}{\partial x}=y^2 \label{6.86}\tag{6.86} $$

可见,这个力不是保守力。

根据这个方法,可以判断出,万有引力和静电力,都是保守力。

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