耶鲁基础物理5.4摩擦与动能定理



前面我们讲了动能定理和机械能守恒定律,给我们解决问题带来很大的便利。可惜,摩擦力把一切给毁了。

一个物体受到弹簧弹力$-kx$和摩擦力$f$,我们能不能推导出能量守恒定律?

先从动能定理开始:

$$ \begin{align} K_2-K_1=&\int_{x_1}^{x_2}F(x)\mathrm dx=\int_{x_1}^{x_2}(-kx)\mathrm dx+\int_{x_1}^{x_2}f\mathrm dx \label{5.30}\tag{5.30}\\ =& \frac{1}{2}kx_1^2-\frac{1}{2}kx_2^2+\int_{x_1}^{x_2}f\mathrm dx \label{5.31}\tag{5.31} \end{align} $$

整理为:

$$ \left(K_2+\frac{1}{2}kx_2^2\right)-\left(K_1+\frac{1}{2}kx_1^2\right)=\int_{x_1}^{x_2}f\mathrm dx \label{5.32}\tag{5.32} $$

如果我们把对$f$的积分称为摩擦势能差,就可以得到关于动能$K$和两个势能之和的能量公式。我为什么没继续写呢?

因为写不下去,摩擦力不仅仅是$x$的函数。

怎么会呢?我推着物体匀速走,很清楚地感受到它以多大的劲儿向我回推。

现在我让你把物体向相反方向推回去,然后你就会发现,在相同的位置,摩擦力方向也反过来了。

摩擦力和弹簧弹力、重力是不一样的,物体无论是远离原点还是向着原点运动,弹簧弹力总是$-kx$,物体无论上升还是下降,重力总是$-mg$,方向向下,而摩擦力还是速度的函数,$f=f(x,v(x))$,方向总是与速度方向相反,可正可负。

我们先不做对$f$的积分,将\eqref{5.32}式写为:

$$ \begin{align} \left(K_2+\frac{1}{2}kx_2^2\right)-\left(K_1+\frac{1}{2}kx_1^2\right)=&\int_{x_1}^{x_2}f\mathrm dx \label{5.33}\tag{5.33} \\ E_2-E_1=&\int_{x_1}^{x_2}f\mathrm dx \label{5.34}\tag{5.34} \end{align} $$

仅仅给定$x_1$和$x_2$,不能确定$f$积分的结果,为什么呢?

因为从$x_1$可以直接移动到$x_2$,也可以进过一次或多次往返后达到$x_2$。在往返过程中,速度会反复改变符号,那么,摩擦力也会反复改变符号。我们必须将整个过程划分为若干段,在每段的$x$处,速度和$f$都有确定的符号。

下面看一个例子。

物体连在弹簧上,置于有摩擦的水瓶面上。将物体拉到$x=A$处,无初速度释放,假设摩擦很小,那么物体回到弹簧自然长度处时,相比没有摩擦力的情况,速度要小一些,并且知道,物体越过弹簧自然长度处,压缩弹簧运动,也不再会达到$x=-A$处了,求一下物体停在最左侧的坐标$A'$。

物体从$x=A$处向左运动到$x=A'$处的过程中,摩擦力很明确,$f=\mu_{\mathrm k} mg$,方向向右,位移为$d=A'-A$,所以摩擦力做功为:

$$ W_{\mathrm f}=-\mu_k mg(A-A')=-f(A-A') \label{5.35}\tag{5.35} $$

代入\eqref{5.34}式,有

$$ \begin{align} E_2-E_1 &=\int_{x_1}^{x_2}f\mathrm dx= -f(A-A')\label{5.36}\tag{5.36} \\ \frac{1}{2}kA'^2-\frac{1}{2}kA^2&= -f(A-A') \label{5.37}\tag{5.37} \end{align} $$

得到上式时,已经考虑到起点和终点的$K_1=K_2=0$,\eqref{5.37}式可整理为

$$ \frac{k}{2}(A'-A)\left(A'+A-\frac{2f}{k}\right)=0 \label{5.38}\tag{5.38} $$

方程有一个根为$A'=A$,它是平凡解,对应于动能为零的初态位置,此时动能的确为零,总能量等于初始能量。

另一个解为

$$ A'=-A+\frac{2f}{k} \label{5.39}\tag{5.39} $$

令$f/k$从$0$逐渐增大,$A'$点从$x=-A$开始向右移动。当$f/k=A/2$时,$A'$由负变正,也就是说,此种情况下物体最终会停在$x$为正值的地方,永远不会到达弹簧自然长度处了。$f/k$继续增大至$f/k=A$,$A'=A$,与平凡解一样,物体从未离开$x=A$,因为弹簧弹力最大值$kA$与摩擦力相等(此处我们假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等)。

总结一下,关于能量守恒定律,我们必须要掌握的基本内容如下:

你要分析物体上的所有力,对所有力积分,得力做的功,总功等于$K_2-K_1$。此为动能定理。

你需要把力分为只与位置有关的力,如重力、弹力,称为保守力,以及还和运动速度有关的力,如摩擦力,称为非保守力。

对保守力的积分对应着相应的势能差。

以$W_f$表示摩擦力做的功,我们有:

$$ E_2-E_1=W_f \label{5.40}\tag{5.40} $$

其中,

$$ E=\frac{1}{2}mv^2+U_{\mathrm s}+U_{\mathrm g}+\cdots \label{5.41}\tag{5.41} $$

$U_{\mathrm s}$为弹性势能,$U_{\mathrm g}$为重力势能,省略号为其他势能。

标签: 摩擦力, 动能定理

添加新评论

captcha
请输入验证码