质点沿粗糙球面滑下的命运



美国《物理教师》(Physics Teachers)杂志研究过质点从球面顶部以初速度$v_0$下滑的问题,得到了下滑到不同位置处质点的速度,并指出,质点最终可能会脱离球面,也可能会停在球面上。发生这两种情形具体条件是什么?文章没有给出,我们探究一下这个问题。

根据牛顿第二定律,有

\begin{equation}
mg\cos\theta - N = mv^2/R=mR\dot{\theta}^2
\label{an}
\end{equation}

\begin{equation}
mg\sin\theta - \mu N = mR\ddot{\theta}
\label{at}
\end{equation}

质点不脱离球面,要求$N \ge 0$。显然,$v_0 \le \sqrt{gR}$,否则质点直接从球面上飞过,不会下滑。

将\eqref{an}式对$\theta$求导,得

\begin{equation} \begin{split} \frac{dN}{d\theta}=&-mg\sin\theta-2mR\dot{\theta}\frac{d\dot{\theta}}{d\theta}\\ =&-mg\sin\theta-2mR\dot{\theta}\frac{d\dot{\theta}}{dt}\frac{dt}{d\theta}\\ =&-mg\sin\theta-2mR\ddot{\theta} \end{split} \label{dN} \end{equation}

将\eqref{at}式代入上式,得

\begin{equation} \begin{split} &\frac{dN}{d\theta}=-mg\sin\theta-2(mg\sin\theta - \mu N)\\ &\frac{dN}{d\theta}-2\mu N=-3mg\sin\theta \end{split} \label{dNd} \end{equation}

这是一个一阶线性非齐次微分方程,解之得

\begin{equation} \begin{split} N(\theta)=&e^{\int_0^{\theta}2\mu d\theta}\left[\int_0^{\theta}e^{\int_0^{\theta}-2\mu d\theta}(-3mg\sin\theta)d\theta+C \right]\\ =&Ce^{2\mu \theta}-3mge^{2\mu \theta}\int_0^{\theta}e^{-2\mu \theta}\sin\theta d\theta \\ =&Ce^{2\mu \theta}+3mg\frac{2\mu\sin\theta+\cos\theta}{1+4\mu^2} \\ =&(mg-mv_0^2/R)e^{2\mu \theta}+3mg\frac{2\mu\sin\theta+\cos\theta-e^{2\mu \theta}}{1+4\mu^2} \\ =&N(0)e^{2\mu \theta}+3mg\frac{2\mu\sin\theta+\cos\theta-e^{2\mu \theta}}{1+4\mu^2} \end{split} \label{N} \end{equation}

\begin{equation}
n(\theta)=\frac{N(\theta)}{mg}=(1-V_0^2)e^{2\mu \theta}+3\frac{2\mu\sin\theta+\cos\theta-e^{2\mu \theta}}{1+4\mu^2}
\label{n}
\end{equation}

其中$V_0=v_0/\sqrt{gR}$。

由\eqref{an}式和\eqref{N}式,可得质点速率

\begin{equation} \begin{split} V(\theta)=&\frac{v}{\sqrt{gR}}=\sqrt{\cos\theta-\frac{N}{mg}} \\ =&\sqrt{\cos\theta-(1-V_0^2)e^{2\mu \theta}-3\frac{2\mu\sin\theta+\cos\theta-e^{2\mu \theta}}{1+4\mu^2}} \end{split} \label{V} \end{equation}

光滑球面

如果球面光滑,$\mu=0$,代入\eqref{n}式,得

\begin{equation}
n(\theta)=3\cos\theta-2-V_0^2
\label{Nf=0}
\end{equation}

将$\mu=0$代入\eqref{V}式,得速度随位置的变化关系

\begin{equation}
V(\theta)=\sqrt{V_0^2+2(1-\cos\theta)}\gt 0
\label{Vf=0}
\end{equation}

显然,质点不会停止,不可能停留在球面上。

质点可能会脱离球面,$N(\theta)=0$,得脱离球面的位置为

\begin{equation}
\theta=\arccos\left(\frac{V_0^2+2}{3}\right)
\label{offf=0}
\end{equation}

粗糙球面

质点的命运有三种情况:停驻在球面上、从球面上脱离、滑至球面底部。

根据《物理教师》(Physics Teachers)文章的讨论,质点不会下滑至$\theta=\pi/2$处。

因此质点最终会停驻在球面上或从球面上脱离。发生这两种情况的界线是什么呢?

当质点初速度$V_0$比较小时,质点会停驻在球面上,设停驻的位置是$\theta_{\mathrm {on}}$,质点的静摩擦力与重力的球面切向分量$mg\sin\theta_{\mathrm {on}}$平衡。增大质点的初速度$V_0$,质点停驻的位置$\theta_{\mathrm {on}}$也将增大。$V_0$为何值时,质点刚刚好能停驻在球面上,或刚刚好要脱离球面?

当$V_0$增大到某一值$V_{0,\mathrm c}$时,质点停驻时静摩擦力等于滑动摩擦力,此情形下质点恰能停驻在球面上。$V_0$再稍大一点,质点最终将脱离球面。

质点恰好停驻在球面上,停驻的位置可以根据力的平衡得到

\begin{equation}
\theta_{\mathrm c}=\arctan \mu
\label{theta-c}
\end{equation}

由\eqref{V}式,知要使质点恰好停驻在球面上,初速度应满足如下关系

\begin{equation} V_{0,\mathrm c}=\sqrt{\frac{4\mu^2-2+2e^{-2\mu\arctan\mu}\sqrt{1+\mu^2}}{1+4\mu^2}} \label{V0-c} \end{equation}

以上推理还可以这样进行。

$V_0 \ge 1$时,质点将从球面顶部飞出。当$V_0 \lt 1$且比较大时,质点最终将脱离球面,设脱离球面的位置是$\theta_{\mathrm {off}}$。减小$V_0$,$\theta_{\mathrm {off}}$也将相应减小。当$V_0$减小至$V_{0,\mathrm c}$时,质点恰不脱离球面,停驻位置为$\theta_{\mathrm c}$。

质点停驻在球面上或从球面上脱离,这两种情况的界线如图1所示。



图1 质点停驻在球面上或从球面上脱离的分界线

给定$\mu$,如果初速度$V_0 \le V_{0,\mathrm c}$,质点将停驻在球面上,停驻位置由\eqref{V}式给出。如果初速度$V_0 \gt V_{0,\mathrm c}$,质点将脱离球面,脱离位置由$n(\theta)=0$给出,$n(\theta)$见\eqref{n}式。



图2 质点停驻位置

上图为质点从球面下滑最终停驻在球面上的位置,曲线终结于$\theta=\arctan \mu$处。

下图为质点从球面下滑最终脱离球面的位置,曲线终结于$V_0=V_{0,\mathrm c}$处。



图3 质点脱离位置

标签: 摩擦力, 圆周运动

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