薄物体在平面上的运动



力与力矩

一薄片物体在有摩擦平面上运动,任一质量元所受摩擦力:

\begin{equation} \mathrm d\vec{F}=-\mu g \hat{u}\mathrm dm \label{df} \end{equation}

其中,$\mu$ 是摩擦系数,$g$是重力加速度,$\hat{u}$是速度$\vec{u}$的单位向量。

设质心的平动速度为$\vec{v}$,物体绕质心轴的角速度为$\vec{\omega}$,某质量元与质心连线的矢量为$\vec{r}$,则质量元速度为

\begin{equation} \vec{u}=\vec{v}+\vec{\omega} \times \vec{r} \label{u} \end{equation}

根据牛顿第二定律,有

\begin{equation} \vec{F}=\int \mathrm d\vec{F}=-\mu g \int \hat{u}\mathrm dm = m\dot{\vec{v}} \label{newton2law} \end{equation}

根据转动定律,有

\begin{equation} \vec{\tau}=\vec{r}\times \vec{F}=\int \vec{r}\times \mathrm d\vec{F}=-\mu g \int \vec{r}\times \hat{u}\mathrm dm = I\dot{\vec{\omega}} \label{rotlaw} \end{equation}

## 纯平动 将$\vec{\omega}=\vec{0}$代入\eqref{newton2law}和\eqref{rotlaw}式,且$ \int \vec{r}\times \hat{v} \mathrm dm =0$,得$\dot{\omega}=0$,并有

\begin{equation} \dot{\vec{v}}=-\mu g \hat{v} \label{puretransv} \end{equation}

物体运动时间

\begin{equation} T=\frac{v_0}{\mu g} \label{puretransT} \end{equation}

这里$v_0$是物体的初速度。

从上式中可以看出,物体如果初始时刻是纯平动,会一直平动,直到停止运动,不可能会转动起来。

纯转动

将$\vec{v}=\vec{0}$代入\eqref{newton2law}式,

\begin{equation} \vec{F}=\int \mathrm d\vec{F}=-\mu g\hat{\vec{\omega}} \times \int \hat{\vec{r}}\mathrm dm = m\dot{\vec{v}}=0 \label{purerotv} \end{equation}

如果物体质量分布满足如下条件:

\begin{equation} \int \hat{\vec{r}} \mathrm dm =0 \label{rm0} \end{equation}

由\eqref{purerotv}式,$F=0$,$\dot{v}=0$。

因此,对于满足\eqref{rm0}式的物体,如果初始时刻是纯转动动,会一直转动,直到停止运动,不可能会平动起来。

将$\vec{v}=\vec{0}$代入\eqref{rotlaw}式,得

\begin{equation} \dot{\omega}=-\frac{\mu g}{I}\int r\mathrm dm \label{dot-omega} \end{equation}

对于半径为$R$的均匀圆环,引入$w=\omega R$,有

\begin{equation} w=\dot{\omega}R=-\mu g \label{w} \end{equation}

从运动初始时刻到运动停止,历时

\begin{equation} T=\frac{w_0}{\mu g} \label{purerotT} \end{equation}

这里$w_0$是$w$的初始值。

类似地,对于均匀圆盘,有

\begin{equation} w=-\frac{4}{3}\mu g \label{disk-w} \end{equation}

\begin{equation} T=\frac{3}{4}\frac{w_0}{\mu g} \label{disk-purerotT} \end{equation}

均质圆环



圆环上某质元的摩擦力

设圆环质心平动正方向沿$x$轴正方向,绕质心转动的正方向为顺时针方向。圆环摩擦力:

\begin{equation}
\frac{F_y}{m}=\frac{\mu g}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{w\sin\varphi}{\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\varphi}}\mathrm d\varphi=0
\label{Fy}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{F_x}{m}=-\frac{\mu g}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{v+w\cos\varphi}{\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\varphi}}\mathrm d\varphi=\dot{v}
\label{Fx}
\end{equation}

摩擦力矩:

\begin{equation} \begin{split} \tau=&F_xR\cos\varphi=-\frac{\mu mgR}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{v\cos\varphi+w\cos^2\varphi}{\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\varphi}}\mathrm d\varphi \\ &=-\frac{\mu mgR}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{v\cos\varphi+w}{\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\varphi}}\mathrm d\varphi \\ &=mR^2\dot{\omega}=mR\dot{w} \end{split} \label{tau} \end{equation}

\begin{equation}
\frac{\tau}{mR}=-\frac{\mu g}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{v\cos\varphi+w}{\sqrt{v^2+w^2+2vw\cos\varphi}}\mathrm d\varphi=\dot{w}
\label{tau/mR}
\end{equation}

根据前面的物理,由\eqref{Fx}和\eqref{tau/mR}两式应能证明以下结论:

  1. 如果$v$的初值为0,$v(t=0)=v_0=0$,则$v$一直为0,$v(t)=0$。
  2. 如果$w$的初值为0,$w(t=0)=w_0=0$,则$w$一直为0,$w(t)=0$。
  3. 转动和平动同时停止,即$v_0 \neq 0$,$w_0 \neq 0$,但$v$和$w$同时减小到零。

均质圆盘

类似地,均质圆盘的动力学由以下两个式子给出:

\begin{equation}
-\frac{\mu g}{\pi R^2}\int_0^{2\pi}\mathrm d\varphi \int_0^R \frac{v+\omega r \cos\varphi}{\sqrt{v^2+\omega^2 r^2+2v\omega r\cos\varphi}}r \mathrm dr =\dot{v}
\label{Fx-disk}
\end{equation}

\begin{equation}
-\frac{2\mu g}{\pi R^4}\int_0^{2\pi}\mathrm d\varphi \int_0^R \frac{v\cos\varphi+\omega r}{\sqrt{v^2+\omega^2 r^2+2v\omega r\cos\varphi}}r^2 \mathrm dr =\dot{\omega}
\label{tau/mR-disk}
\end{equation}

同样应能证明上一节末所述3结论。

参考文献

本文整理自Am. J. Phys. 53, 1149 (1985)

标签: 摩擦力, 刚体

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