耶鲁基础物理4.1一道解过的例题

物理学的目标是能够根据当前已知的事情预测未来。我来举一个非常简单的例子,看看牛顿定律是如何实现这个目标的。



图4.1 质量为$m$的物体与劲度系数为$k$的弹簧相连,虚线表示这个物体偏离平衡位置$x$远处。

如图4.1所示,在光滑桌面上有一个质量为$m$的物体,与劲度系数为$k$的弹簧相连,弹簧的另一端固定于静止的墙上。虚线表示这个物体正位于距离平衡位置$x$远处。我把这个物体拖动一段距离$A$,然后释放。以上就是我们所知道的全部。这个物体会如何运动?

这是个典型的物理问题,可以变得越来越复杂。你可以把这个物体换成一颗行星,把弹簧换成吸引着行星的太阳,还可以引入许多颗行星,将问题变得越来越困难。但是,它们都归结为与此相似的练习:我现在已经获得了一些信息,希望能够说出随后会发生什么。

现在处理我们的例题,应用牛顿第二定律揭示物体的命运,有

\begin{equation} \begin{split} & m\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=-kx(t) \\ & \frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=-\frac{k}{m}x(t) \end{split} \label{4.1}\tag{4.1} \end{equation}

这是一个微分方程,你要求出这样一个函数,它的二阶导数是本身与$-k/m$之积。先别着急求助数学家,我们自己来猜一猜这个方程的解,对于解微分方程,这完全是合理的方法。

怎么猜呢?

为了便于猜,我们先取$k=1$,$m=1$,之后再将$k$和$m$放回方程中。这样的话,我们要找这样一个函数,它的二阶导数是自身的负值。这是一个什么函数?

指数函数吗?

取$x(t)=e^t$,代入\eqref{4.1},得

\begin{equation} \frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=e^t\neq -x(t) \label{4.2}\tag{4.2} \end{equation}

方程不成立。

取$x(t)=e^{-t}$?二阶导数还是自身。

如果取$x(t)=e^{\pm it}$,确实是方程的解,但是,现在我还不想涉及复数。

继续猜一个两次求导之后依然是自身的函数。

\begin{equation} x(t)=\cos t \label{4.3}\tag{4.3} \end{equation}

代入\eqref{4.1},核实一下:

\begin{equation} \frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=\frac{\mathrm d^2\cos t}{\mathrm dt^2}=-\cos t=-x(t) \label{4.4}\tag{4.4} \end{equation}

满足要求。我们猜出了方程\eqref{4.1}的解。

这个解还是不完美。

如果令$t=0$,那么,$x=1$。我为什么我一开始必须恰好把弹簧拉开$1\mathrm m$呢?我可以把它拉开$2\mathrm m$、$3\mathrm m$或是$9\mathrm m$。我必须要自己控制在$t=0$时刻将弹簧拉开多远,比如拉开$5\mathrm m$,就要求$x(0)=5\mathrm m$。这时怎么猜问题的解?

可猜

\begin{equation} x(t)=5\cos t \label{4.5}\tag{4.5} \end{equation}

多了个5会不会把事情搞糟?

求导两次看一看:

\begin{equation} \frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=\frac{\mathrm d^2(5\cos t)}{\mathrm dt^2}=-5\cos t=-x(t) \label{4.6}\tag{4.6} \end{equation}

依然满足要求。

$x$一阶导数,$\frac{\mathrm d x}{\mathrm dt }=-5\sin t$,在$t=0$时刻,值为零,什么意思?

$x$一阶导数是物体的速度,我们在$t=0$时刻释放物体,物体没有速度。

综上,\eqref{4.5}正是满足要求的解。它满足牛顿第二定律,也满足初始位置和初始速度。

还有两点需要说明:

一、有人猜答案是$x(t)=\sin t$,也是可以的。\eqref{4.5}式不是问题的一般解,只是针对当前题目的特解,题目要求弹簧被拉开$5\mathrm m$然后释放。

二、如果$k$和$m$都不是1,即回到一般情况:

\begin{equation}\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=-\frac{k}{m}x(t) \label{4.7}\tag{4.7} \end{equation}

方程的解应该是什么?

方程的解应该是

\begin{equation} x(t)=A\cos \sqrt{\frac{k}{m}}t \label{4.8}\tag{4.8} \end{equation}

其中$A$是一个任意常数,叫做振幅,在我们的例题中为$5\mathrm m$。后面我们还会深入讨论这个问题。目前,我们只是初步体验一下在现实生活中如何应用牛顿第二定律。

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