质点-哑铃碰撞



《伯克利物理学教程·力学》翻译版封面

《伯克利物理学教程·力学》第6章习题11:

有两个质量同为$M$的物体,由质量可忽略不计的长度为$a$的刚性杆连接在一起。这个哑铃形系统的质心静止在无重力的空间中,但整个系统以角速度$\omega$绕质心转动。转动着的两个物体中,其中一个与第三个质量为$M$的质点发生正碰,碰后粘在一起。(a)求碰撞前一瞬间三质点系统的质心位置,并求出质心的速度。注意:这一点速度并不是刚性杆上与质心重合的那一点的速度。(b)碰撞前一瞬间,这个三质点系统对质心的角动量是多少?碰撞后一瞬间,角动量又是多少?(c)碰撞后,系统绕质心的角速度是多少?(d)初、末态动能各是多少。




(a) 如图所示,以哑铃中心为坐标原点建立直角坐标系。哑铃两个质点的坐标分别为$\vec{r}_1=(-a/2,0)$和$\vec{r}_2=(a/2,0)$,第三个质点的坐标为$\vec{r}_3=(-a/2,0)$。

质心坐标为

\begin{equation} \vec{R}_{\mathrm {cm}}=\frac{M\vec{r}_1+M\vec{r}_2+M\vec{r}_3}{3M}=\frac{(-a/2,0)+(a/2,0)+(a/2,0)}{3}=-\frac{a}{6}\hat{i} \label{Rcm} \end{equation}

质心速度为

\begin{equation} \dot{\vec{R}}_{\mathrm {cm}}=\frac{M\dot{\vec{r}}_1+M\dot{\vec{r}}_2+M\dot{\vec{r}}_3}{3M}=\frac{-\omega a/2\hat{j}+\omega a/2\hat{j}+0}{3}=0 \label{Vcm} \end{equation}

(b) 碰撞前一瞬间,系统角动量

\begin{equation} \begin{split} \vec{J}=&M(\vec{r}_1-\vec{R}_{\mathrm {cm}})\times \dot{\vec{r}}_1 + M(\vec{r}_2-\vec{R}_{\mathrm {cm}})\times \dot{\vec{r}}_2 + M(\vec{r}_3-\vec{R}_{\mathrm {cm}})\times \dot{\vec{r}}_3\\ =& M(-\frac{a}{3}\hat{i})\times (-\frac{a}{2}\omega\hat{j})+M(\frac{2a}{3}\hat{i})\times (\frac{a}{2}\omega\hat{j})+0\\ =& \frac{Ma^2\omega}{2}\hat{k} \end{split} \label{angularB} \end{equation}

系统角动量守恒,所以,碰撞后角动量不变。

(c) 设碰撞后系统绕质心角速度为$\omega'$,则碰撞后系统绕质心角动量为

\begin{equation} \begin{split} \vec{J}=&M(-\frac{a}{3}\hat{i})\times (-\frac{a}{2}\omega'\hat{j})+M(\frac{2a}{3}\hat{i})\times (\frac{a}{2}\omega'\hat{j})+M(-\frac{a}{3}\hat{i})\times (-\frac{a}{2}\omega'\hat{j})\\ =&\frac{M2a^2\omega'}{3}\hat{k} = \frac{Ma^2\omega}{2}\hat{k} \end{split} \label{angularA} \end{equation}

得$\omega'=\frac{3}{4}\omega$

(d) 碰撞前动能

\begin{equation} K=\frac{1}{2}M(-\frac{a}{2}\omega)^2+\frac{1}{2}M(\frac{a}{2}\omega)^2=\frac{1}{4}Ma^2\omega^2 \label{Ki} \end{equation}

碰撞后动能

\begin{equation} K'=\frac{1}{2}2M(-\frac{a}{3}\omega')^2+\frac{1}{2}M(\frac{2a}{3}\omega')^2=\frac{1}{3}Ma^2\omega'^2=\frac{3}{16}Ma^2\omega^2 \label{Kf} \end{equation}

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