长链落体



《伯克利物理学教程·力学》翻译版封面

《伯克利物理学教程·力学》第6章习题8:

一条质量为$m$,长度为$l$的链子在桌子的边缘上盘在一起。链子的一端有极小的一段长度被推出桌子边缘,在重力作用下开始下落,并把越来越多的链子从桌面拉出来。假定链子在未被拉入运动前速度一直保持为零,知识突然一下以下落部分的速度开始运动。请求出链子下落段长度为$x$时的速度。当链子全部长度$l$刚好离开桌子一刹那,原来的势能有多大部分转化为链子的动能?

链子的线密度为$\rho=m/l$,由牛顿第二定律

\begin{equation} \frac{d(\rho x \dot{x})}{dt}=\rho xg \\ \frac{d( x \dot{x})}{dt}= xg \\ \dot{x}^2+x\ddot{x}=gx \label{newton2} \end{equation}

将$v=\dot{x}$,$\ddot{x}=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}$代入上式,得

\begin{equation} v^2+v\frac{dv}{dx}= xg \\ xv^2+vx\frac{dv}{dx}= gx^2 \\ \frac{1}{2}\frac{d(v^2x^2)}{dx}=gx^2 \label{eqn} \end{equation}

解上式得,$v^2=\frac{2}{3}gx$。

当链全部脱离桌面,$x=l$,此时动能$E_{\mathrm k}=\frac{1}{3}mgl=\frac{2}{3}mg\frac{l}{2}=\frac{2}{3}E_{\mathrm p}$,即2/3的原来的势能转化为链子的动能。

标签: 牛顿第二定律

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