用矢量证明余弦定理和正弦定理



三个矢量表示三角形三条边

如上图所示,三角形三条边边长分别为$a$、$b$、$c$,它们所对的角分别为$\alpha$、$\beta$、$\gamma$,沿三条边分别赋予矢量$\mathbf a$、$\mathbf b$、$\mathbf c$,在上图中$\mathbf c=\mathbf a-\mathbf b$。根据矢量运算可证明余弦定理和正弦定理。

下面证明余弦定理。

\begin{equation*} \begin{split} \mathbf c \cdot \mathbf c=c^2 =& (\mathbf a-\mathbf b)\cdot (\mathbf a-\mathbf b) \\ =& \mathbf a^2 + \mathbf b^2 - 2\mathbf a \cdot \mathbf b \\ =& a^2 + b^2 - 2 a b \cos\gamma \end{split} \end{equation*}

即得余弦定理 $c^2 =a^2 + b^2 - 2 a b \cos\gamma$

下面证明正弦定理。

有以下关系:

\begin{equation*} |\mathbf a \times \mathbf c|=ac\sin\beta=|\mathbf a \times (\mathbf a-\mathbf b)|=|\mathbf a \times \mathbf a-\mathbf a \times \mathbf b|=|\mathbf a \times \mathbf b|=ab\sin\gamma \end{equation*}

\begin{equation*} |\mathbf b \times \mathbf c|=bc\sin\alpha=|\mathbf b \times (\mathbf a-\mathbf b)|=|\mathbf b \times \mathbf a-\mathbf b \times \mathbf b|=|\mathbf a \times \mathbf b|=ab\sin\gamma \end{equation*}

由上面两式分别得:

\begin{equation*} \frac{c}{\sin\gamma}=\frac{b}{\sin\beta} \end{equation*}

\begin{equation*} \frac{c}{\sin\gamma}=\frac{a}{\sin\alpha} \end{equation*}

即得正弦定理:

\begin{equation*} \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma} \end{equation*}

标签: 矢量, 余弦定理, 正弦定理

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