Essential University Physics 22.1 电势差

类似万有引力,静电力也是保守力,即克服电场力对电荷做功,会使势能增大。为便于处理问题,引入单位电量的势能,即电势。本章我们将看到,电势给我们提供了一个计算电场的更简单的方法,还可以表征电池等日常电气元件。

22.1 电势差

在力学中,$A、B$两点间势能变化量定义为保守力$\vec{F}$对从$A$点运动到$B$点的某物体做的功的相反数:

\begin{equation*} \Delta U_{AB}=U_B-U_A=-W_{AB}=-\int_A^B \vec{F}\cdot d\hat{r} \end{equation*}

其中$d\hat{r}$为物体从$A$点运动到$B$点过程中一段元位移。势能差$\Delta U_{AB}$与物体从$A$点运动到$B$点的具体路径无关。对于恒力,功的计算比较简单,$W=\vec{F}\cdot \Delta \vec{r}$。



图22.1 正电荷$q$逆着电场方向运动,外力需要做功。

考虑一正电荷$q$,在均匀电场$\vec{E}$中从$A$点运动到$B$点,位移为$\Delta r$,如图22.1所示。电荷所受电场力为恒力$\vec{F}=qvec{E}$,外力做功为

\begin{equation*} \Delta U_{AB}=-W_{AB}=-q\vec{E}\cdot \Delta \vec{r}=-qE\Delta r \cos\pi =qE\Delta r \end{equation*}

式中出现因子$\cos\pi$,因为电场$\vec{E}$与位移$\Delta \vec{r}$方向正好相反。

上式合理吗?逆着电场方向移动电荷,可类比为推着汽车上坡,两种情况下,势能都是增加。释放电荷,电场会使电荷加速返回,正如重力会使汽车从坡上滑下。

在图22.1中,如果我们移动的电荷是$2q$呢?势能变化量$\Delta U$也变为2倍。如果我们移动的电荷是$q/2$,$\Delta U$也减半。既然$\Delta U$与电量成正比,单位电荷的势能变化量将是一个很方便的量,我们称之为电势差$\Delta V$。$A、B$两点间的电势差为将电荷从$A$点移动到$B$点,单位电荷的势能变化量:

\begin{equation}
\Delta V_{AB}=\frac{\Delta U_{AB}}{a}=-\int_A^B \vec{E}\cdot d\hat{r} \quad (电势差)
\tag{22.1a}\label{22.1a}
\end{equation}

在已经指明$A$点的情况下,我们也把电势差记做$V$。很明显,电势差是标量。

对于匀强电场这个特殊情况下,根据\eqref{22.1a},两点间电势差为

\begin{equation}
\Delta V_{AB}=- \vec{E}\cdot \Delta \vec{r} \quad (匀强电场中电势差)
\tag{22.1b}\label{22.1b}
\end{equation}

其中,$\Delta \vec{r}$为从$A$点指向$B$点的矢量。图22.1中,$\Delta \vec{r}$与$\vec{E}$正好反向,$A、B$两点间电势差为$\Delta V_{AB}=- E \Delta r$。

电势差可以是正的也可以是负的,视路径是逆着电场方向还是顺着电场方向。移动正电荷经历一个正的电势差类似爬山,势能增加。如果移动的是负电荷,情况正好相反,尽管电势差是一样的,但是受力方向反了,所以势能也要改变符号。

我们要强调一下,电势差只与两点之间的相对位置有关系,与电荷具体移动路径无关。图22.1中,电荷走过一条直线,使电势差计算非常简单。但是电荷走过任何路径,所得到的电势差或势能变化量都是一样的,只是复杂的路径计算更麻烦,如图22.2所示。



图22.2 电势差与路径无关。

课堂练习22.1
以下几种情况下,图22.1中的电势差如何变化:(a) 电场大小加倍;(b) 两点距离加倍;(c) A、B连线垂直于电场线; (d)A、B位置互换。

伏特和电子伏特

国际单位制中的单位是$\mathrm{J/C}$。电势差这个物理量太重要了,它的单位有个专门的名称,叫做伏特,简称伏,记做$\mathrm {V}$,$1\mathrm {V}=1\mathrm{J/C}$。1个汽车电池铭牌标有12$\mathrm {V}$,意思是,1$\mathrm {C}$电荷走过电池两端,电池要做12$\mathrm{J}$的功。

在分子、原子、原子核体系,能量以电子伏($\mathrm{eV}$)为单位更为方便。电子伏的定义为:一个带有基元电荷的粒子,经历1$\mathrm{V}$的电势差,所获得的能量。基元电荷的电量为$1.6\times 10^{-19}\mathrm C$,因此电子伏与焦耳之间的换算关系为:$1\mathrm{eV}=1.6\times 10^{-19}\mathrm J$。当电量以基元电荷$e$为单位,电势差以伏特为单位,能量采用电子伏特$\mathrm{eV}$为单位会较为方便。但是电子伏($\mathrm{eV}$)不是国际单位制中的单位,与其他量一起运算的时候,要注意单位换算。

课堂练习22.2
(a) 一个质子 (电量为$e$), (b) 一个阿尔法粒子 (电量为$2e$), (c) 一个单电离氧原子,分别经历$10\mathrm{V}$的电势差,电场做功分别是多少?以$\mathrm{eV}$为单位。

例题22.1 电势差、功、能:X射线

X射线管内为匀强电场,电场大小为$300\mathrm{kN/C}$,电场从电子源延伸至靶,范围为$10\mathrm{cm}$,电场方向为从靶指向电子源。求电子源和靶之间的电势差。电子从电子源出来加速到靶,所获得的能量。(电子在靶处突然减速,产生X射线。)能量单位分别取电子伏和焦耳。

分析:首先从电场分布计算出电势差,然后由电势差计算能量。

分析草图如图22.3所示,A点处为电子源,B点处为靶,由\eqref{22.1b}计算匀强电场中两点间电势差。电势差乘以电量即为获得的能量。



图22.3 例题22.1分析草图

计算:场和位移方向相反,由\eqref{22.1b}式,A、B之间电势差为$\Delta V_{AB}=- \vec{E}\cdot \Delta \vec{r} = E\Delta r=300\times 0.10 \mathrm {kV}=30\mathrm {kV}$。

电势差虽然是正的,但对于负电荷来说,从电子源跑到靶,相当于下山,所以会获得动能。电子的电量就是一个基元电荷$e$,所以电子获得的能量是$1\times 30 \mathrm {keV}=3.0\times 10^4\mathrm {eV}=3.0\times 10^4\times (1.6\times 10^{-19})\mathrm J=4.8\times 10^{-15}\mathrm J$。

检查:$1\mathrm{eV}$要比$1\mathrm J$小19个数量级,我们这里所得结果,比$1\mathrm J$小15个数量级,合理。

例题22.2 带电平面的电势
一孤立的无限大带电平面均匀带电,电荷面密度为$\sigma$,求距离带电平面$x$处的电势。

分析:根据电场分布求电势。无限大均匀带电平面的电场我们在21.4节已经求过,为匀强电场,方向垂直于平面,大小为$E=\sigma/(2\epsilon_0)$.电场线草图如图22.4所示。既然是求匀强电场电势,可应用\eqref{22.1b}式来求。



图22.4 例题22.2分析草图。电场是向左右延伸的,但是我们没有画左边。

计算:从带电平面沿电场方向,走到距带电平面$x$处,得此处电势为

\begin{equation*} \Delta V_{0x}=- \vec{E}\cdot \Delta \vec{r} = -Ex=-\frac{\sigma x}{2\epsilon_0} \end{equation*}

检查:上式表明,匀强电场的电势差与距离成线性关系。移动一个正电荷远离带电平面,如同下山,且山的斜率保持不变。如果平面带负电,$\sigma \lt 0$,电势差改变符号,此式移动一个正电荷远离带电平面就如同上山(如果移动负电荷,就如同下山)。

曲线路径和非匀强电场

如果电场不是匀强电场,路径也不是直线,那么我们要根据\eqref{22.1a}做积分来得到电势差。我们把路径分成很多线元$d\vec{r}$,线元足够短,可以看成直的,且线元上各点处电场可看成匀强电场,如图22.5所示。线元两端间电势差为$dV=\vec{E}\cdot d\vec{r}$,积分,即对所有线元两端间的电势差$dV$求和,就可以得到$A、B$两点间的电势差。下一节,我们将距离说明。



图22.5 例题22.2分析草图。电场是向左右延伸的,但是我们没有画左边。

课堂练习22.3
如图,三条同样长度的直线分别位于三种不同的电场中,且保证$A$点处电场大小相同,将三个电场中$A、B$两点间的电势差排序。



标签: 势能, 电势差, 伏特, 电子伏

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