Essential University Physics 21.6 高斯定理和导体

21.6 高斯定理和导体

静电平衡

导体是含有自由电荷的材料,如金属中的自由电子。图21.21展示了导体处于电场中会发生的情况。自由电荷会在电场的作用下移动,自由电荷如果带正电,则沿着电场方向运动,如果带负电,则逆着电场方向运动。导体电荷排布,会在导体内部产生一个电场,我们称之为内电场,内电场与外电场方向相反。随着电荷排布的进行,内电场越来越强,直到大小与外电场相等。此刻,导体内自由电子受合外力为0,不再移动,导体电荷重新排布完成,达到静电平衡。尽管各电荷还在做无规热运动,但不再有任何宏观电荷移动。一旦达到静电平衡,内电场和外电场等大反向,因此:

达到静电平衡的导体,内部电场处处为0。



图21.21 导体处于匀强电场中

不可能有别的结果:如果导体内部电场不为0,就要有自由电荷移动,导体就不会达到静电平衡。这一结论与导体的形状和大小、外电场的大小和方向都没有关系,甚至与材料的化学组成也没有关系。当然这是宏观上的结果,微观上,在原子和分子尺度上,电子或离子附近还是有很强的电场的。但是在更大尺度上,达到静电平衡的导体,内部电场平均来看为0。

带电导体

导体尽管含有自由电荷,但通常是电中性的,因为导体有等量的电子和质子。但是假象我们使导体带上净电荷,比如向导体内部注入电子。导体内部过量电子之间互相排斥,又没有正电荷提供吸引力,抵御电子之间的互相排斥。我们可以预计,过量电子将彼此尽可能远离,即分布到导体表面上去。

如果导体已经达到静电平衡,我们现在应用高斯定理证明过量电荷必须分布在导体表面上。高斯面如图21.22所示,高斯面位于材料内部,靠近材料表面。如果导体已经达到静电平衡,导体内部电场处处为0,因此穿过高斯面的电通量也为0。根据高斯定理,电通量正比于高斯面包围的电量,因此高斯面内包围的电量也为0。不管高斯面画在哪里,只要在导体内部,以上结论都成立。我们可以将高斯面任意接近导体表面,这样的高斯面内部净电荷也还是为0。因此,对于达到静电平衡的导,体如果带有净电荷,净电荷只能分布于导体外表面。



图21.22 高斯定理证明,过量电荷只能分布于达到静电平衡的导体的表面。

例题21.7 高斯定理:中空导体
一形状不规则的导体,带有一空腔。导体本身带有净电荷$1\mathrm{\mu C}$,空腔内有一点电荷$2\mathrm{\mu C}$。求导体达到静电平衡后,空腔壁和导体外表面上的电量。

分析:导体达到静电平衡,意味着:(1)材料内部没有电场,(2)净电荷位于导体表面,本例题中,导体有内外两个表面。

分析草图如图21.23所示,我们要用高斯定理求出导体表面所带电量。我们画一高斯面,位于导体内部,且将空腔包于其内。



图21.23 高斯面内包围的电量为0,所以空腔壁上必带有$-2\mathrm{\mu C}$的电量。

计算:导体内部无电场,因此通过高斯面的电通量为0,因此高斯面包围的净电荷为0。但是空腔内已经有$2\mathrm{\mu C}$的电量了,因此某处必须要有$-2\mathrm{\mu C}$的电量,这$-2\mathrm{\mu C}$的电量只能位于腔壁上。那么导体外表面上,就要出现$2\mathrm{\mu C}$的电量,再加上导体本身带有的$1\mathrm{\mu C}$的电量,所以,导体外表面会带有$3\mathrm{\mu C}$的电量。

检查:所得电荷分布可以使导体内部电场为0,还满足高斯定理,结果合理。另外一个思考角度,距离导体很远处的电场类似$3\mathrm{\mu C}$的点电荷的电场。腔壁和腔内的电场不能穿过导体,导体外的电场只能来自导体外表面,因此导体外表面应该带有$3\mathrm{\mu C}$的电量。

课堂练习21.4
一导体带有$+Q$的净电荷,导体空腔内有一电量为$-Q$的点电荷。导体达到静电平衡后,导体外表面电量为(a) $-2Q$,(b) $-Q$, (c) 0, (d) $2Q$,(e) $Q$

高斯定理的实验检验

导体静电平衡提供了一个灵敏检验高斯定理的方法,也即检验库仑定律的方法。如图21.24,一带电导体球,接触一中性导体腔内壁。根据高斯定理,电荷会跑到导体外表面,使导体球不再带电。如果测量得导体球果然不带电,说明高斯定理是正确的,也即平方反比定律$1/r^20$是正确的。此实验可精确到小数点后16位!



图21.24 高斯定理的实验检验。

导体表面附近的电场

导体达到静电平衡后,导体内部没有电场,但是导体表面附近有电场,如图21.25a所示。导体表面附近的电场必须与导体表面垂直,否则,电荷将沿着电场平行导体表面的分量移动,导体不会达到静电平衡。



图21.25 (a) 导体表面附近的电场与导体表面垂直。(b) 高斯面跨越导体表面内外。

我们现在计算一下导体表面附近电场的大小。做高斯面为薄扁小圆柱面,跨越导体表面内外,如图21.25b所示。导体内部电场为0,因此高斯面内端面不贡献电通量。高斯面侧面与电场方向平行,因此也不贡献电通量。只有高斯面外端面贡献电通量,电通量为$\Phi=EA$,$A$为端面面积。高斯面包围的电量为$q_{内}=\sigma A$,其中$\sigma$为导体表面电荷面密度。由高斯定理,$\Phi=EA=\sigma A/\epsilon_0$,得电场大小为

\begin{equation}
E=\frac{\sigma}{\epsilon_0} \quad (导体表面附近的电场大小)
\tag{21.8}\label{21.8}
\end{equation}

这一结果表明,导体表面电荷密度大的地方电场更强。工程师设计电气元件,一般要避免元件电荷密度太高,否则会在附近造成很强的电场,引起电火花,导致电弧,击穿绝缘装置。

\eqref{21.8}式表明,导体表面附近的电场只与局域电荷密度有关。这是不是意味着导体附近的电场只来自局域电荷?不!电场总是所有电荷的电场的矢量和。高斯定理要求导体表面上的电荷以合适的方式排布,以使导体表面附近任一点处的电场正好只与那里的电荷密度有关,尽管电场来自导体表面上所有的电荷,还有其他任意位置处的电荷。

考虑一孤立的薄平导体板,均匀带电,其中一面上电荷面密度为$\sigma$,如图21.26a。根据\eqref{21.8}式,此面附近的电场大小为$\sigma/\epsilon_0$。但是我们在上一节算过,无限大带电平面的电场为$\sigma/(2\epsilon_0)$。是不是与这里的结果矛盾?不矛盾。如果导体板是孤立的,对称性要求电荷均匀分布在两个面上,如图21.26b。如果一个面上电荷面密度为$\sigma$,另一个面也必须同样带有面密度为$\sigma$的电荷。每个面的电场大小都为$\sigma/(2\epsilon_0)$,在导体外,合电场正好是$\sigma/\epsilon_0$,如图21.26c,导体内合电场正好是0。应用\eqref{21.8}式的时候,我们跳过了这些细节。由于推导\eqref{21.8}式的时候,我们已经假设导体内部电场为0了,说明\eqref{21.8}式已经“知道”电荷如何分布,在此例中,意味着已经知道导体板另一个面上的电荷分布。



图21.26 (a) 孤立导体板,两面附近的电场指向远处。(b) 导体板侧视图。 (c) 任意一点处电场是导体板两个面的电场的叠加,每个面都可看做一个带电平面。

\eqref{21.8}式还适用于一对带有等量异号电荷的平行导体板,如图21.27所示。两导体板之间,电场大小为$\sigma/\epsilon_0$,其中$\sigma$为导体板上电荷面密度。为什么不是$2\sigma/\epsilon_0$?\eqref{21.8}式给出的是导体表面附近的电场,已经考虑了其他可能存在的电荷。这里一导体板的电荷吸引另一导体板的相反电荷,使电荷都分布在导体板相向的表面,每个导体板都可看做一带电平面,电场为$\sigma/(2\epsilon_0)$,合起来正好是$\sigma/\epsilon_0$,与\eqref{21.8}式一致。导体板之外的电场为0,这也与\eqref{21.8}式一致,因为两导体板另外一面上的电荷密度为0。



图21.27 带有带有等量异号电荷的两平行导体板侧视图。

标签: 导体, 静电平衡

添加新评论