Essential University Physics 21.2 电通量和电场

21.2 电通量和电场

我们用多个曲面将图21.3中的电荷分布包围起来,如图21.4所示。每个曲面都是闭合曲面,不穿过曲面是不可能从曲面内部跑到曲面外部的。(图21.4中只显示了每个曲面的二维截面)从每个曲面分别穿出多少条电场线?

在图21.4a中,很明显,从曲面1和2穿出的电场线数目是8条。对于曲面3,1条电场线穿出2次,穿入1次。如果将穿入记为负的穿出,则从曲面3穿出的电场线数目依然为8条。对于包围$+q$的任意闭合曲面,从其内穿出的电场线数目总是8。原因很简单,电荷发出的8条电场线连续地延伸至无限远处,中间必然要穿过闭合曲面。

下面我们看曲面4。两条电场线穿入曲面内部,两条电场线从曲面穿出,所以净穿出的电场线数目是0。与曲面1、2、3不一样,曲面4没有包围电荷。易推知,对于没有包围电荷的曲面,从其内穿出的电场线数目是0。



图21.4 6种电荷分布的电场线,约定$q$的电量对应8条电场线。

再看图21.4b,与图21.4a情况一样,只是电荷发出的电场线数目变为16,相应地,从包围电荷$2q$的曲面穿出的电场线数目也变为16。

图21.4c也类似,只是电荷为负电荷,电场线穿入包围电荷$-q$的闭合曲面,终结于负电荷处,相应地,从包围电荷$-q$的闭合曲面穿出的电场线数目也是负的。

以上三种情况,从不包围电荷的闭合曲面4净穿出的电场线数目为0。

图21.4e中的曲面3,从其内净穿出的电场线数目也是0。曲面3虽然包围着2个电荷,但净电荷为0,因此净穿出此曲面的电场线数目为0。

逐一审查图21.4中的其他图,可以推知:

从任意闭合曲面内部穿出的电场线数目正比于曲面包围的净电荷数。

这一结论是普遍成立的,不管曲面是何形状,也不管曲面包围的是1个电荷还是多个电荷,也不管电荷如何分布。曲面外部的电荷不影响净从曲面穿出的电场线的数目,但可能会改变电场线的形状。我们将给出此结论的数学形式。在给出数学形式之前,再强调一下,数学只是反映图21.4呈现的事实:从闭合曲面净穿出的电场线的数目只与曲面所包围的净电荷(即电荷的代数和)有关。

电通量

如图21.5所示,穿过一个平面的电场线的数目与三个因素有关:电场大小$E$,面积$A$,平面相对电场的取向。如果平面与电场垂直,穿过平面的电场线最多,如果平面与电场平行,将没有电场线穿过平面。介于这两个极限的一般情况如图21.5d所示。如果我们定义一个与平面垂直的矢量$\vec{A}$,矢量$\vec{A}$与电场$\vec{E}$的夹角为$\theta$,穿过平面的电场线数目与$\cos\theta$成正比。综合以上,穿过平面的电场线数目与$EA\cos\theta$成正比。这个量有确定的值,抓住了“穿过平面的电场线数目”的精神,但后者定量上含糊不清。我们把$EA\cos\theta$称作通过平面的电通量$\Phi$。我们令矢量$\vec{A}$的大小为平面的面积,则电通量可定义为如下矢量点乘:

\begin{equation}
\Phi=\vec{E}\cdot \vec{A} \quad (电通量)
\label{21.1}\tag{21.1}
\end{equation}

由上式知,电通量的国际单位为$\mathrm{N\cdot m^2/C}$。



图21.5 穿过平面的电通量。(b)与(a)相比,电场增强,电通量增大。(c)与(b)相比,面积减小,电通量减小。(d)电通量与$\vec{E}$和$\vec{A}$之间的夹角$\theta$有关。

图21.5 中的平面属于开放曲面,即可以不穿过曲面从曲面一边到达曲面另一边。对于开放曲面,电通量$\Phi$的符号不唯一,因为与开放曲面垂直的方向有两个。但是对于闭合曲面,$\vec{A}$的方向是清楚的,我们规定其方向为指向闭合曲面外部。

注意:电通量不是电场
电通量$\Phi$与电场$\vec{E}$彼此密切相关,但它们是截然不同的物理量。电场是矢量,是局域量,在空间各点都有定义。而电通量是标量,是整体量,定义在一个扩展的曲面上而非单个点上,定量上表示穿过曲面的电场线的数目。



图21.6 小面积元$dA$可认为是平的,小面积元上电场可以认为是匀强电场。

方程\eqref{21.1}只能用于计算匀强电场穿过平面的电通量。如何计算电场穿过曲面的电通量呢?并且电场未必是匀强电场。我们可以把曲面分割很多很小的小块(面积元)。每个面积元足够小,可以认为是平的,且其区域内为匀强电场,如图21.6所示。设每个面元的面积为$dA$,根据\eqref{21.1},穿过此面元的电通量为$d\Phi=\vec{E}\cdot d\vec{A}$,其中$d\vec{A}$与面元垂直。穿过整个曲面的电通量就是所有面元的电通量之和。如果面元无限小,求和就变成积分,即电通量为:

\begin{equation}
\Phi=\int_{曲面}\vec{E}\cdot \vec{A} \quad (电通量)
\label{21.2}\tag{21.2}
\end{equation}

积分范围为整个曲面。这个积分在通常情况下是很难计算的,但是后面我们会看到,在它最有用武之地的情况,这个积分的计算简单得不值一提。

课堂练习21.1
如下图所示,在匀强电场$\vec{E}$中一个边长为$s$的立方体,分别在图中(a)和(b)两种情形下,求穿过面A、B、C的电通量。



标签: 电场, 电通量

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