Essential University Physics 21.3 高斯定理

21.3 高斯定理

前一节,我们知道从任意闭合曲面穿出的电场线数目正比于该闭合曲面所包围的净电荷数,并引入电通量的概念,对“电场线数目”给出严格的数学描述。由此,我们可以说:穿过任意闭合曲面的电通量正比于该闭合曲面所包围的净电荷。写成数学形式为$\Phi=\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}\propto q_{内} $,这里积分符号上的圈表示对闭合曲面积分。



图21.7 一点电荷被以自身为球心的球面包围

为了确定电通量与电量的比例系数,我们考虑一个正电荷$q$,用以电荷$q$为球心的半径为$r$的球面将电荷包围,如图21.7所示。则穿过此曲面的电通量为:

\begin{equation*} \Phi=\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\oint E\cos\theta dA \end{equation*}

由图21.7,$d\vec{A}$和$\vec{E}$在球面上处处平行,因此$\cos\theta=1$。又电场的大小$E=kq/r^2$,电场大小在球面上处处相等,因此可以把$E$拿到积分号外面,有:

\begin{equation*} \Phi=\oint_{球面} EdA=E\oint_{球面} dA=E(4\pi r^2)=\frac{kq}{r^2}(4\pi r^2)=4\pi kq \end{equation*}

所以电通量$\Phi$与所包围的电量$q$之间的比例系数为$4\pi k$。

在继续讨论之前,我们引入介电常数$\epsilon_0=1/(4\pi k)=8.85\times 10^{-12}\mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}$。这里没有什么物理上的特别考虑,只是将$k$替换为$4\pi\epsilon_0$。这么做可以使我们后面遇到的公式的形式更简单一些。做这样一个替换之后,电通量$\Phi$与电量$q$之间的比例系数就是$1/\epsilon_0$。穿过闭合曲面的电通量与闭合曲面所包围的净电荷数的关系可表述为如下数学公式:

\begin{equation}
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{q_{内}}{\epsilon_0} \quad (高斯定理)
\tag{21.3}\label{21.3}
\end{equation}

上式对我们所考察的闭合曲面进行积分,$q_{内}$为闭合曲面所包围的净电荷数。

该式就是高斯定理,是整个宇宙的电磁场所遵循的四条基本定律之一。不管是遥远星系的恒星,还是DNA的双链,以及你的电脑的核心部件CPU,在这些地方你都会发现,穿过闭合曲面的电通量只与闭合曲面包围的净电荷数有关。这个结论经历了近200年各种实验的考验,未发现一次反例。

高斯定理穿着面积分这样的数学外衣,表达的就是图21.4所呈现的清晰事实:从闭合曲面穿出的电场线条数与闭合曲面包围的净电荷数成正比。但是高斯定理的表述更为精确。

高斯定理和库仑定律

高斯定理和库仑定律貌似完全不同,其实密切相关。图21.8说明了二者都 涉及到平方反比定律。高斯定理告诉我们,穿过图中两个球面的电通量是相等的,都等于$q/\epsilon_0$。为什么?如前面我们刚刚做的推导,穿过以电荷为球心的球面的电通量正好是球表面积与球面上电场大小的乘积。但是库仑定律告诉我们,电场大小按$r^{-2}$关系减小,而面积按$r^2$的关系增大,二者相乘,正好为常数,即电通量。如果平方反比定律(即库仑定律)不成立,电通量就不是常数,高斯定理也就不成立。



图21.8 高斯定理成立是因为库仑定律满足平方反比定律

正是因为平方反比定律才使我们可以用电场线可视化电场。点电荷的电场分布于三维空间,穿过任意球面(也可以说任意闭合曲面)的电场线数目都一样。但是较大的球有更大的表面积,正比于$r^2$,这意味着电场线密度随半径增大而减小准确反映了电场的大小。再一次说明,平方反比定律(库仑定律)与电通量和所包围电荷之间的关系(高斯定理)之间的密切关系。顺便提下,书上和黑板上画的电场线图像不能定量描述电场,因为不能在全部三维空间展示电场线的分布。

我们这里只讨论了单个点电荷,但是我们要强度:高斯定理适用于任意电荷分布所产生的电场。这是叠加原理带来的结果。

对于静止的电荷分布,高斯定理和库仑定律完全等价,但是对于运动的电荷,库仑定律就不成立了,但是高斯定理依然成立。所以,高斯定理更为基本,我们将之列为电磁学4条基本定律之一。

课堂练习21.2
如图所示,一个球面包围了一个孤立的点电荷。如果在此球面外再放一个点电荷,以下关于穿过此球面的电通量的说法正确的是:(a)不变;(b)增大;(c)减小;(d)增大还是减小,视第二个电荷的符号而定。以上选项用于说明球面位于两电荷之间处的电场,哪个选项是对的?



标签: 高斯定理, 库仑定律, 面积分

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