20.2 库仑定律

摩擦一个气球，气球会带上电荷，吸到你的衣服上。再通过摩擦使另外一个气球带上电荷，这两个气球会互相排斥，如图20.1所示。衣物从烘干机里刚取出时，袜子和衣服是粘在一起的。泡沫塑料粘在手上，非常烦人。走过地毯，你摸门把手，常被电击。这些都是你对电荷的直观体验。

图20.1 带同种电荷的气球互相排斥

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是什么使我们的身体成为一个整体？什么使摩天大楼昂然屹立？急转弯的时候，什么使你的汽车抓住地面？什么使你的计算机的电子线路正常工作？壮观的闪电，背后是谁在操纵？这些问题的答案都指向同一个东西——电作用力。除了万有引力，我们在力学中遇到的力——张力、弹力、摩擦力——本质上都是电作用力。反过来，我们称具有电作用力的物体带有电荷。

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一般运算

$\vec{\mathrm A}\cdot(\vec{\mathrm B}\times\vec{\mathrm C})=(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})\cdot\vec{\mathrm C}=\vec{\mathrm C}\cdot(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})=(\vec{\mathrm C}\times\vec{\mathrm A})\cdot\vec{\mathrm B}=\vec{\mathrm B}\cdot(\vec{\mathrm C}\times\vec{\mathrm A})$

$\vec{\mathrm A}\times(\vec{\mathrm B}\times\vec{\mathrm C})=\vec{\mathrm B}(\vec{\mathrm A} \cdot\vec{\mathrm C})-\vec{\mathrm C}(\vec{\mathrm A}\cdot\vec{\mathrm B})$

$(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})\cdot(\vec{\mathrm C}\times\vec{\mathrm D})=(\vec{\mathrm A} \cdot\vec{\mathrm C})(\vec{\mathrm B}\cdot\vec{\mathrm D})-(\vec{\mathrm A} \cdot\vec{\mathrm D})(\vec{\mathrm B}\cdot\vec{\mathrm C})$

和之导数

$\nabla(f+g)=\nabla f + \nabla g$
$\nabla\cdot(\vec{\mathrm A}+\vec{\mathrm B})=\nabla\cdot\vec{\mathrm A}+\nabla\cdot\vec{\mathrm B}$
$\nabla\times(\vec{\mathrm A}+\vec{\mathrm B})=\nabla\times\vec{\mathrm A}+\nabla\times\vec{\mathrm B}$

积之导数

$\nabla(fg)=f\nabla g + g\nabla f$
$\nabla(\vec{\mathrm A}\cdot\vec{\mathrm B})=\vec{\mathrm A}\times(\nabla\times \vec{\mathrm B})+\vec{\mathrm B}\times(\nabla\times \vec{\mathrm A})+(\vec{\mathrm A}\cdot\nabla)\vec{\mathrm B}+(\vec{\mathrm B}\cdot\nabla)\vec{\mathrm A}$
$\nabla\cdot(f\vec{\mathrm A})=f(\nabla\cdot\vec{\mathrm A})+\vec{\mathrm A}\cdot\nabla f$
$\nabla\cdot(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})=\vec{\mathrm B}\cdot(\nabla\times \vec{\mathrm A})-\vec{\mathrm A}\cdot(\nabla\times \vec{\mathrm B})$
$\nabla\times(f\vec{\mathrm A})=f(\nabla\times\vec{\mathrm A})-\vec{\mathrm A}\times\nabla f$
$\nabla\times(\vec{\mathrm A}\times\vec{\mathrm B})=\vec{\mathrm A}(\nabla\cdot\vec{\mathrm B})-\vec{\mathrm B}(\nabla\cdot\vec{\mathrm A})+(\vec{\mathrm B}\cdot\nabla)\vec{\mathrm A}-(\vec{\mathrm A}\cdot\nabla)\vec{\mathrm B}$

二阶导数

$\nabla\times(\nabla\times\vec{\mathrm A})=\nabla(\nabla\cdot\vec{\mathrm A})-\nabla^2\vec{\mathrm A}$
$\nabla\cdot(\nabla\times\vec{\mathrm A})=0$
$\nabla\times(\nabla f)=0$

积分定理

$\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}(\nabla f)\cdot d\vec{l}=f(\mathrm b)-f(\mathrm a)$
$\int_V(f\nabla^2g-g\nabla^2f)dV=\oint_S(f\nabla g-g\nabla f)\cdot\hat{n}dS$
高斯散度定理：
$\int_V\nabla\cdot\vec{\mathrm A}dV=\oint_S\vec{\mathrm A}\cdot\hat{n}dS$
斯托克斯定理
$\int_S(\nabla\times\vec{\mathrm A})\cdot\hat{n}dS=\oint_C\vec{\mathrm A}\cdot d\vec{l}$

一元三次方程必有实根。

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看gif：

此gif转自视频

直角坐标系、球坐标系、柱坐标系中梯度、散度、旋度计算公式，备忘。

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如何找出这么特殊的函数？

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以光的双缝干涉实验，说明波粒二象性。

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复制自：Table of Integrals

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