随机行走

用初等数学介绍一维随机行走

什么是随机行走？

随机行走是一个对象从起始点出发游走，每一步都随机选个方向前进。下图为7个黑点的随机行走。

7个随机行走的黑点

如何对随机行走进行数学描述？

最简单的随机行走是一维随机行走。考虑数轴上中心处的黑点。

数轴中心出黑点

然后，这个黑点开始迈出一步，向前或向后，做任一选择的概率都是相等的。以后时刻迈出下一步也是一样的，以相等的概率决定向前还是向后。第1步记作$a_1$，第2步记作$a_2$，第3步记作$a_3$，以此类推。每个“$a$”只有两个取值，+1（表示向前走1步）或-1（表示向后退1步），如下图所示，黑点走了5步后停在数轴上-1处。

黑点在数轴上做了5步随机行走

假设黑点从0处开始出发，沿着数轴随机行走。首先我们想知道，黑点走了$N$步后，距离出发点有多远。显然，每次实验得到的结果是不一样的。但是我们可以算一下，多次重复实验，黑点最后到出发点距离的平均值。黑点最后到出发点0的距离记作$d$。这里$d$可正可负，$d\gt 0$，表示黑点最后位于0点右边，反之，$d\lt 0$，表示黑点最后位于0点左边。对于任意一次实验，结果为

\begin{equation*} d=a_1+a_2+\ldots +a_N \end{equation*}

多次重复实验，得到的$d$的平均值为

\begin{equation*} \langle d\rangle =\langle a_1+a_2+\ldots +a_N \rangle =\langle a_1\rangle +\langle a_2\rangle +\ldots +\langle a_N \rangle \end{equation*}

但是$\langle a_1\rangle = 0$，因为$a_1$取+1和-1的概率相等。同样 地，$\langle a_2\rangle = 0$，$\langle a_3\rangle = 0$，$\dots$，$\langle a_N\rangle = 0$，所以

\begin{equation*} \langle d\rangle =\langle a_1\rangle +\langle a_2\rangle +\ldots +\langle a_N \rangle = 0+0+\ldots+0 \end{equation*}

仔细想想，这个结果不奇怪，$\langle d\rangle$表示黑点走了$N$步之后的平均位置，而黑点前进和后退的概率是一样的，平均值确实应该是0。

上面的计算没多大实用性。现在我们整点有用的。

方均根

$d$有正有负，但是$d^2$只能是正的。因此$\langle d^2 \rangle$就不可能是0。那我们就算算$\langle d^2 \rangle$，看能得到什么结果。

\begin{equation*} \begin{split} \langle d^2\rangle &=\langle (a_1+a_2+\ldots +a_N)^2 \rangle \\ &=\langle (a_1+a_2+\ldots +a_N)(a_1+a_2+\ldots +a_N) \rangle \\ &= \langle a_1^2\rangle +\langle a_2^2\rangle +\ldots +\langle a_N^2 \rangle \\ &+ 2(\langle a_1a_2\rangle+\langle a_1a_3\rangle+\ldots +\langle a_1a_N\rangle+\langle a_2a_3\rangle+\ldots +\langle a_2a_N\rangle +\ldots) \end{split} \end{equation*}

$ \langle a_1^2\rangle$等于多少？因为$a_1$要么是1要么是-1，因此$a_1^2$只有一个取值，1，所以，$ \langle a_1^2\rangle=1$，同样地，有$ \langle a_2^2\rangle=1$，$ \langle a_3^2\rangle=1$，$\ldots$，$ \langle a_N^2\rangle=1$

现在看$\langle a_1a_2\rangle$的值。$a_1$和$a_2$有四种组合，每种组合出现的概率都相等。四种组合如下：

$a_1$	$a_2$	$a_1a_2$
1	1	1
1	-1	-1
-1	1	-1
-1	-1	1

因此$a_1a_2$的可能取值为1或-1，两种情况出现的概率相等，因此$\langle a_1a_2\rangle=0$。同样地，$\langle a_1a_3\rangle=0$，$\langle a_1a_N\rangle=0$，$\langle a_2a_3\rangle=0$，$\langle a_2a_N\rangle=0$，等等其他类似的项也都为0，于是，

\begin{equation*} \langle d^2\rangle = (1+1+\ldots+1)+2(0,0,\ldots,0)=N \end{equation*}

现在我们有些有意义的结果了，距离的平方的平均值为$N$。对上式开方，有

\begin{equation*} \sqrt{\langle d^2\rangle} =\sqrt{N} \end{equation*}

$\sqrt{\langle d^2\rangle}$大概其是上图中黑点走了$N$步后到0点的距离（科学术语叫做“方均根”距离），我们期望黑点走了$N$步后，到出发点距离为$\sqrt{N} $。如果黑点走了25步，黑点净移动步数期望值为5步，不管是什么方向。当然有时候会多于5步，有时候会少于5步，5步是我们所期望的结果。

原文链接

Random Walk