耶鲁基础物理4.3 4.4 桌面上的物体



物体位于桌面上。左图中无摩擦力,右图中出现了摩擦力。如果物体静止,摩擦系数$\mu=\mu_{\mathrm s}$,如果物体滑动,摩擦系数$\mu=\mu_{\mathrm k}$。

4.3 支持力

二维空间运动是高维空间运动的入门。在二维及高维空间,位矢、速度、加速度、力都是矢量。力学问题开始变得复杂,并且复杂程度没有上限。你要是翻出剑桥大学1700-1800年的考题,会发现非常难。好在后来出现了量子力学,日子变得好过多了。

现在看例题。如图4.2左所示,设桌面上有物体,建立$xy$坐标系。对物体应用牛顿第二定律。还记得牛顿第二定律矢量方程吗?

\begin{equation} \boldsymbol F = m \boldsymbol a \label{4.9}\tag{4.9} \end{equation}

两个矢量相等,则$x$、$y$分量分别相等:

\begin{equation} F_x = m a_x \label{4.10}\tag{4.10} \end{equation}

\begin{equation} F_y = m a_y \label{4.11}\tag{4.11} \end{equation}

在$x$方向,没有力的作用,物体在$x$方向也没有动,因此有$0=0$。

再看$y$方向,物体受力分析如图所示,重力$mg$竖直向下。如果这是物体全部的力,物体将穿过桌子下落,然而,并没有发生这样的事,我们因此知道,桌子一定对物体施加了一个竖直向上的力$N$,因此有

\begin{equation} N-mg= m a_y \label{4.12}\tag{4.12} \end{equation}

物体没有陷入桌子,也没有从桌子上飞起来,$y$方向没有速度,也没有加速度,得

\begin{equation} N=mg \label{4.13}\tag{4.13} \end{equation}

4.4 静摩擦力与动摩擦力

现在,我们要引入另外一个力,摩擦力$f$。

我们怎么知道摩擦力的存在呢?什么实验可以使你知晓存在着另外一个叫摩擦力的力呢?

如图4.2右图所示,你想让物体匀速运动,得施加一个力,这表明你的力被平衡掉了,因为物体加速度是零。还有另外一个方法,物体正运动着,不施加外力,它会慢慢停下来,那一定有一个力让物体减速。

你还可以发现,物体静止在桌面上,你推它,它也有可能不动,再使更大的力,它才开始动。施加了力,却没有加速度,一定有一个力把我的力给平衡掉了。这个力就是静摩擦力。

静摩擦力与我施加给物体的力方向相反,大小呢?

不能比我施加的力小,否则物体会运动,也不能比我的力大,否则会迫使我后退,因此静摩擦力与我施加的力大小相等。因此,静摩擦力的大小在0与某个值之间。静摩擦力的最大值为:

\begin{equation} f_{\mathrm s}=\mu_{\mathrm s} N \label{4.14}\tag{4.14} \end{equation}

其中$\mu_s$是一个数,叫做静摩擦系数,$N$是物体对桌面施加的压力。在图4.2中,$N=mg$。所以,静摩擦力与物体多重有关,与接触面积无关。例如,使这个物体的一个面积较大的面与桌面接触,静摩擦力不变。你可能会觉得接触面积加大了,所以摩擦力也会随之增大,然而事实并非如此。原因我们就不解释了。

摩擦力源于微小的原子尺度上的作用。

静摩擦力与我施加的力大小相等,且最大值为$\mu_s N$,那么当我的力大于这个最大值会怎样?

物体将开始移动,摩擦力方向与速度方向相反,大小变为

\begin{equation} f_{\mathrm k}=\mu_{\mathrm k} N \label{4.15}\tag{4.15} \end{equation}

其中$\mu_k$叫做动摩擦系数,且$\mu_k<\mu_s$。

假设桌面与物体之间的静、动摩擦系数分别为$\mu_k=0.2$,$\mu_s=0.25$。如果我施加的力是重力的0.1倍,物体不会动,为重力的0.2倍,物体也不会动,为重力的0.25倍,与静摩擦力扯平,若为重力的0.26倍,物体将运动,一旦运动起来,摩擦力就减小为重力的0.2倍,如果我的力保持不变,物体将加速运动。

标签: 摩擦力

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