摩擦对于卫星运动的影响



《伯克利物理学教程·力学》翻译版封面

《伯克利物理学教程·力学》第6章习题2:

大气摩擦对于在圆(或接近圆)轨道上的卫星的运动有什么影响?为什么摩擦会增大卫星的速度?摩擦会增大或减小卫星相对于地球中心的角动量吗?为什么?

第二问答案比较显然,摩擦力力矩方向与角速度方向正好相反,因此会使角动量减小。

现在讨论第一问。

摩擦使卫星速度有减小的趋势,进而导致轨道半径减小,圆周运动半径减小,要求运动速度增大。这与能量观点不矛盾,摩擦力做功使机械能减小,不是使动能减小,在本题中,动能增大,但万有引力势能减小,减小的势能要超过动能的增大,多余的部分抵偿摩擦力做负功。

下面给个定量说明。

地球质量$M$,卫星质量为$m$,以速率$v$做半径为$r$的圆周运动,有

\begin{equation} \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \label{circular} \end{equation}

\begin{equation} \begin{split} &v^2=\frac{GM}{r}\\ &2vdv=-\frac{GM}{r^2}dr \end{split} \label{vr} \end{equation}

卫星受到摩擦力$f$作用,在$dt$时间内速率增量为$dv$,轨道半径增量为$dr$,动能和万有引力势能增量分别为$dE_k$和$dE_p$,摩擦力做功:

\begin{equation} \begin{split} W_f=&dE_k+dE_p=mvdv+\frac{GMm}{r^2}dr=mvdv-2mvdv \\ -fvdt=&-mvdv \end{split} \end{equation}

所以

\begin{equation} \frac{dv}{dt}=\frac{f}{m}\gt 0 \label{dvdt} \end{equation}

$v$果真增大,但机械能随时间减小,在$dt$时间内减小$mvdv$。

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