Essential University Physics 23.2 电容器

23.2 电容器

很多技术应用中，我们常需要用电容器储存能量。电容器就是带有等量异号电荷的一对导体。尽管电容器可以有各种构型，但最容易分析的是平行板电容器——由两个靠得很近的平行导体板组成，如图23.2a所示。理解这种器件不仅具有技术价值，还可以使我们对电场和静电能有更深刻的认识。

两导体板最初是不带电的。我们给电容器充电，在一个导体板上积聚正电荷，则在另一导体板上积聚等量负电荷。我们把电容器接到电源两端即可，但是这里假想为将电荷从一个导体板取下来，移至另一导体板上。导体板上的电荷在导体板之间产生的电场如图23.2b所示。由于两导体板非常接近，导体板之间的电场为匀强电场，除了板边缘处。导体板之外，电场非常弱，可以忽略。

图23.2 (a) 平行板电容器由两个相距很近的导体板组成，导体板面积为$A$，间距为$d$。(b) 侧视图，并画出电场线。

在第21章，我们知道，导体表面附近电场为$E=\sigma/\epsilon_0$，其中$\sigma$为导体板上电荷面密度。导体板上电荷均匀分布，电量为$Q$，于是$\sigma=Q/A$（如果你认为还应该乘以2，请看图21.28和21.29）。两导体板之间为匀强电场，于是，两导体板之间的电势差为$V=Ed=\sigma d/\epsilon_0$。

电容

导体板上的电量与两板之间的电势差有如下关系：$Q=(\epsilon_0 A/d)V$。小括号强调两件事情：一，电荷与电势差成正比；二，比例系数只与常数$\epsilon_0$和导体几何形状有关，对于这里平行板电容器，表征几何形状的是导体板面积和间距。比例系数为电量与电势差的比值，定义出两导体所构成的电容器的电容：

\begin{equation}
C=\frac{Q}{V} \quad (电容)
\label{23.1}\tag{23.1}
\end{equation}

电容与导体的排列方式有关，对于给定的导体，电容为常数。对于平行板电容器，电容为
\begin{equation}
C=\frac{\epsilon_0 A}{d} \quad (平行板电容器)
\label{23.2}\tag{23.2}
\end{equation}

由\eqref{23.1}式，电容的单位是$\mathrm{C/V}$。这个单位有个专门的名字：法拉（$\mathrm F$），以纪念19世纪的科学家法拉第。$1\mathrm F$是很大的电容，通常的电容器使用的单位是微法$\mathrm {{\mu} F}$（$1\mathrm{\mu F}=10^{-6}\mathrm F$）和皮法$\mathrm {p F}$（$1\mathrm{pF}=10^{-12}\mathrm F$）。顺便提一下，\eqref{23.2}式表明，$\epsilon_0$的单位还可以表示为$\mathrm{F/m}$ 。

课堂练习23.2

给你一个容积为5加仑的桶，桶能盛多少水？给你一个$5\mathrm{\mu F}$的电容器，它能带上多少电荷？

电容器储能

展开想象，将很小很小的电量$dQ$从电容器带负电的导体板移至带正电的导体板，此时电容器两导体板之间的电势差为$V$。电势差是移动单位电荷所要做的功，这里移动$dQ$的电量，显然需要做功$dW=VdQ$。导体板上电量增大，则导体板之间的电场也增大，进而导致导体板之间的电势也增大$dV$。由\eqref{23.1}式，有$dQ=CdV$。于是，在导体板之间转移$dQ$的电量需要做功$dW=VdQ= CV dV$。

如果初始时刻电容器不带电。我们转移电荷过程中，电场连续增大，因此我们需要连续做功。总共做的功就是所有的$dW$之和。整个过程中电势差连续增大，求和变成积分：

\begin{equation*} W=\int dW=\int_0^V CVdV=\frac{1}{2}CV^2 \end{equation*}

所做的功转化为储存于电容器中的势能$U$。

\begin{equation}
U=\frac{1}{2}CV^2 \quad (平行板电容器储能)
\label{23.3}\tag{23.3}
\end{equation}

由于电势差可以用电压表直接测量，因此将电容器能量以电势差表示比以电量表示更有用。

注意
带电电容器指一个导体带正电，另一导体带负电，电容器的总电量仍为零，如图23.3所示。电量$Q$指任一导体上的电量的大小，不是指电容器净电荷，电容器净电荷总是0。

图23.3 整个电容器净电荷总是为0，不管导体是不带电（左）还是带电（右）。

例题23.1 电容、电量、电能：平行板电容器

一电容器由两个圆形金属板组成，板的半径为$ R = 12 \mathrm{cm}$，间距为$d = 5.0 \mathrm{mm}$。电容器两端接在$12\mathrm V$的电源上。(a) 求电容。(b) 求导体板上电量。(c)电容器中储存的静电能。

分析：导体半径比间距大两个数量级，可以认为导体板之间为匀强电场，电容器为平行板电容器。

画出分析草图，如图23.4所示。根据\eqref{23.2}式，$C=\epsilon_0 A/d$，可计算得电容，这里导体板面积为$A=\pi R^2$。由题意知，电容器两导体板之间电势差为$12\mathrm V$，根据\eqref{23.1}式，$C=Q/V$，可得电量，根据\eqref{23.3}式，$U=CV^2/2$，可得静电能。

图23.4 例题23.1分析草图。

计算：(a)电容

\begin{equation*} C=\frac{\epsilon_0 A}{d}=\frac{\epsilon_0 \pi R^2}{d}=80\mathrm{pF} \end{equation*}

(b) 电量

\begin{equation*} Q=CV=80\times 12\mathrm{pC}=960\mathrm{pC} \end{equation*}

不到$1\mathrm{nC}$。

(c) 静电能

\begin{equation*} U=\frac{CV^2}{2}=\frac{80\times 12^2}{2}\mathrm{pJ}=5760\mathrm{pJ} \end{equation*}

约为$5.8\mathrm{nJ}$。

检查：$80\mathrm{pF}$是很小的电容，电量和静电能在纳的量级上，不奇怪。