Essential University Physics 22.3 电势差和电场

22.3 电势差和电场



图22.15 一座平顶山(a)及其等高线图(b)表示一个带电球壳的等势面(短划线) represent equipotentials (dashed curves) for a charged spherical shell, in a plane
through the shell’s center.

电荷垂直于电场方向运动,不需要外力做功,即垂直于电场的平面上的两点之间没有电势差。这样面叫做等势面。等势面类似地形图上的等高线,如图22.15所示。沿等高线行走,不需要做功。等高线密集的地方,海拔变化剧烈。同样,等势面密集的地方,相邻点之间的电势差比较大,意味着那样的地方电场强。图22.15就是表示的这样的意思。类似地,电偶极子的等势面,图22.16中的虚线,在正电荷附近为陡峭的“山”,在负电荷附近为陡峭的“坡”,如图22.11所示。但是,等高线和等势面也有不同:等势面是三维的面,我们将其画做等高线的样子,那只是等势面与纸面的截线。



图22.16 电偶极子在其自身所在平面上的等势面(短划线)和电场线。等势面正是图22.11的等高线。

课堂练习 22.6
下图为两等势面。两图中相邻等势面之间的电势差相等,问哪个图表示的是点电荷的电场?并予以解释。



由电势计算电场

电场线和等势面垂直。给定电场线,我们可以画出等势面。反过来,给定等势面,我们也可以画出电场线。给出每一点的电势,就可以确定电场。

下面我们导出电势和电场之间的定量关系。设沿$x$方向相距$dx$两点之间的电势差为$dV$,根据(22.1b)式,$dV=-E_xdx$。两边除以$dx$,得电场的$x$分量为$E_x=-dV/dx$。同样地,可以得到电场的$y$分量和$z$分量。当一个函数的变量不止一个,比如电势,求导要写成偏导,即$E_x=-\partial V/\partial x$,$E_y=-\partial V/\partial y$,$E_z=-\partial V/\partial z$。将电场的三个分量归拢在一起,写成矢量形式,如下:

\begin{equation}
\vec{E}=-\left (\frac{\partial V}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial V}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial V}{\partial z}\hat{k} \right )
\label{22.9}\tag{22.9}
\end{equation}

\eqref{22.9}式再一次说明,电势变化快的地方电场比较大。负号与(22.1b)式一致,意思是电势增大的方向与电场方向相反。\eqref{22.9}式还说明,电场的单位$\mathrm{N/C}$还可以写为$\mathrm{V/m}$。

注意:单个点处的电场和电势没有关系。\eqref{22.9}式表明,电场是电势的变化率。电场和电势之间的关系类似加速度和速度之间的关系。前者是后者的变化率,只不过电场和电势变化率之间差了一个负号。特别地,电势为零的地方,电场可以不为零。反过来也一样。

因为电势是标量,通常电势较易计算,由电势就可以按\eqref{22.9}式计算电场。请看下面的例题。

例题22.8 由电势计算电场:带电圆盘

上一节例题22.7结果计算带电圆盘轴线上的电场。

分析:例题22.7给出了带电圆盘轴线上的电势,对电势求导就可得电场。

例题22.7给出的电势为$V(x)=(2kQ/a^2)\left (\sqrt{x^2+a^2}-|x| \right )$,只与$x$变量有关,因此电场$\vec{E}$只有$x$分量,这是由对称性分析易得的事实。

计算:

\begin{equation*} \vec{E}=-\frac{\partial V}{\partial x}\hat{i}=\frac{2kQ}{a^2}\left (\pm 1-\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}} \right )\hat{i} \end{equation*}

对于上式中$\pm$,$x>0$取正号,$x<0$取负号。

检查:圆盘附近电场为无限大平面电场。对于$x\ll a$,$|E|=2kQ/a^2$,代入$k=1/(4\pi \epsilon_0)$,$\sigma=Q/(\pi a^2)$,得$|E|=\sigma/(2\epsilon_0)$,正是无限大带电平面的电场。还可以证明,距离带电圆盘非常远处,电场接近点电荷电场。

标签: 电场, 电势, 等势面

添加新评论

captcha
请输入验证码