Essential University Physics 20.5 电场中的物质

20.5 电场中的物质

电场对带电粒子施加力的作用。物质由带电粒子组成,因此物质的很多行为可以归结为与电场施加的作用。

电场中的点电荷

单个点电荷在电场中的运动由电场力$\vec{F}=q\vec{E}$和牛顿第二定律$\vec{F}=m\vec{a}$。一个电量为$q$质量为$m$的带电粒子处于电场$\vec{E}$中,加速度为

\begin{equation}
\vec{a}=\frac{q}{m}\vec{E}
\tag{20.8}\label{20.8}
\end{equation}

上式表明,荷质比,$q/m$,决定带电粒子对电场的响应。电子质量约为质子质量的$1/2000$,但二者电量相同,因此电子很容易被电场加速。许多设备器件,如X光机、荧光灯,都涉及到电场加速电。

如果电场是匀强电场,带电粒子做匀加速运动。此情形应用于喷墨打印机:一对带相反电荷的带电平板产生一匀强电场,使带电墨滴落在页面正确的位置,如图20.18所示。



图20.18 一对带相反电荷的带电平板产生一匀强电场,使带电粒子轨迹发生偏转。由图中情形,你能判断出带电粒子的电量$q$的符号吗?

如果电场不是匀强电场,计算粒子轨迹一般会更困难一些。一个例外是,粒子在方向沿径向的电场(有心电场)中垂直电场方向运动。在适宜的条件下,粒子会做匀速圆周运动。比如下面的例题。

例题20.8 静电分析器
在两个弯曲的带电金属板之间有电场$E=E_0(b/r)$,其中$E_0$和$b$都是常量,分别具有电场和长度的量纲。电场指向曲率中心,$r$为场点到曲率中心的距离。一质子垂直进入电场区域,并从水平方向离开电场区域,如下图所示,求出质子的速度。



图20.19 静电分析器

分析:问题为带电粒子在有心电场中的运动。要求的是质子水平离开电场区域的条件。根据图20.19,质子轨迹须为圆弧。

由\eqref{20.8}式,加速度$\vec{a}=(q/m)\vec{E}$。质子做圆周运动,加速度$a=v^2/r$,代入公式,即可求出$v$。

计算:质子需要做圆周运动,由\eqref{20.8}式,

\begin{equation*} a=\frac{v^2}{r}=\frac{eE}{m}=\frac{e}{m}E_0\frac{b}{r} \end{equation*}

解此方程,得$v=\sqrt{eE_0b/m}$。

检查:增强电场,即增大$E_0$或$b$,如果入射速度不变,轨迹将弯曲得更厉害,要使质子轨迹依然为圆弧,我们需要增大入射速度,这与我们的结果一致。注意到,速度与半径无关,即质子入射位置不重要,这是因为电场与加速度和半径的依赖关系是一样的。此设备称为静电分析器,用于根据速度和荷质比收集带电粒子。航天器利用静电分析器表征行星际空间的带电粒子。

课堂练习20.3
电场中有以下粒子:电子、质子、氘核(1个中子+1个质子)、He-3原子核(1个中子+2个质子)、He-4原子核(2个中子+2个质子)、C-13原子核(7个中子+6个质子)、O-16原子核(8个中子+8个质子),按加速度由小到大将以上粒子排序。质子和中子近似认为质量相同,且近似认为复合粒子的质量是各组成粒子的质量和。

电场中的电偶极子

20.4节,我们计算了电偶极子的电场。这里我们研究电偶极子对电场的响应。电偶极子可以作为很多分子的模型,因此我们的结果将有助于解释很多分子的行为。

图20.20展示了匀强电场中的一个电偶极子。电偶极子中两粒子的电量为$\pm q$,相距$d$,电偶极矩$\vec{p}$大小$p=qd$,方向从负电荷指向正电荷(回顾20.4节的图20.13)。电偶极子两电荷受力大小相等,方向相反,电偶极子合力为0。



图20.20 电偶极子在匀强电场中合外力为0,但受到一力矩的作用。

但是,从图20.20可以看出,电偶极子受到一力矩作用,使电偶极子转向与电场平行的方向。在力学中我们知道,力矩是位置矢量与力的叉乘:$\vec{\tau}=\vec{r}\times \vec{F}$,力矩的大小为$\tau=rF\sin\theta$,这里$\theta$是位置矢量与力的夹角。可以由右手定则确定力矩的方向。由图20.20,正电荷所受的力关于电偶极子中心的力矩为$\tau_+=rF\sin\theta=(\frac{1}{2}d)(qE)\sin\theta$,负电荷所受的力关于电偶极子中心的力矩与此相同,且两个力矩的方向相同,因此合力矩为$\tau=2\tau_+=qdE\sin\theta$。根据右手定则,力矩方向垂直页面向里。这里$qd$为电偶极矩矢量$\vec{p}$的大小,$\theta$是$\vec{p}$与$\vec{E}$的夹角,因此力矩可写为如下矢量形式:

\begin{equation}
\vec{\tau}=\vec{p}\times \vec{E}\quad (电偶极子在匀强电场中所受的力矩)
\label{20.9}\tag{20.9}
\end{equation}

由于电偶极子在电场中受到一力矩作用,因此转动电场中的电偶极子需要做功。匀强电场中一电偶极子,初始时刻,电偶极矩方向与电场垂直,要将电偶极子转至与电场成$\theta$角的方向,需要做功:

\begin{equation*} W=\int_{pi/2}^{\theta}\tau d\theta = \int_{pi/2}^{\theta}pE\sin\theta d\theta = -pE\cos\theta=-\vec{p}\cdot \vec{E} \end{equation*}

功转化为储存的势能$U$,

\begin{equation}
U=-\vec{p}\cdot \vec{E}
\label{20.10}\tag{20.10}
\end{equation}

电偶极矩与电场垂直时为势能$U$零参考点。



图20.21 电偶极子两电荷受力大小和方向都不同时,电偶极子的合外力和力矩不为0。

如果电场不是匀强电场,电偶极子两个电荷受到的力大小会不同,方向也未必相反。此时电偶极子合外力不为0,所受力矩也不为0,如图20.21所示。一个重要的例子是一个电偶极子的电场对另一个电偶极子的作用,如图20.22所示。电偶极子电场随距离增大而迅速减小,又电偶极子的两个电荷等量异号,离得又很近,因此电偶极子之间的作用力很弱。如图20.22,电偶极子之间的微弱的作用力为吸引力。分子之间的范德瓦尔斯相互作用部分来自于这种电偶极子相互作用。



图20.22 平行共线的两个电偶极子之间为吸引力

导体、绝缘体和电介质

大块物质含有大量点电荷,如电子、质子。有些物质中,尤其是金属、离子溶液、电离气体,带电粒子可以在材料中近乎自由移动。这样的材料称为导体。电场可以使导体中的电荷有序移动,形成电流。在后面的章节中,我们将研究导体和电流。

有些材料,其内部的电荷不能自由移动,这样的材料称为绝缘体。绝缘体也是含有电荷的,只不过电荷束缚于中性分子内。有些分子,如水,具有固有偶极矩,受到外电场作用,会转动。有些分子没有电偶极矩,受外电场作用下,分子被拉伸,会产生诱导偶极矩,如图20.23所示。在这两种情况下,电场都可以造成分子电偶极子的有序排列,如图20.24所。电偶极子电场从正电荷指向负电荷,因此会减弱材料内部的电场。我们会在第23章继续讨论这一效应。分子要么具有固有偶极矩,要么会产生诱导偶极矩,这样的材料叫做电介质



图20.23 分子被外电场拉伸,带上电偶极矩。



图20.24 电介质内分子电偶极子的有序排列减弱材料内部的电场。

如果施加的电场太强,可能会使电介质中的电荷摆脱束缚,使电介质成为导体。这称为电介质击穿。电介质击穿可以给电气设备带来严重危害。闪电其实就是空气中的电介质击穿。

标签: 电介质, 电偶极子, 电偶极矩, 导体, 绝缘体

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