耶鲁基础物理2.2 二维矢量

接下来，我们在更高维空间研究运动。

现实世界中，万物都在三维空间运动。

我们先把二维空间讲明白。

我们研究问题，一个好方法是，先研究最简单的情况，搞懂之后，心里有底了，再逐渐增大难度。

一维和二维运动差异很大，而二维和更高维之间的差异却不大。

三维空间加一维时间就够描述我们的世界了吗？

弦理论研究者会告诉你，不够，要9个空间维和一维时间。

现在我们开始讨论二维矢量。

一个质点在$x-y$平面运动，如图2.1所示。这不是$x$随$t$变化的图，也不是$y$随$t$变化的图，这是质点留下的轨迹。

图2.1 质点在二维空间中的运动轨迹。图上1,2,33,34标记的是四个时刻，单位为秒。

你也许会问：时间都去哪了？

想象质点随身携带一个钟，每隔一定时间，比如1秒，就在走到的地方做个记号，所有的记号连起来就是轨迹。如图所示有四个记号，对应的时刻是$t=1\mathrm s,2\mathrm s, 33\mathrm s,34\mathrm s$。

这两个1秒的时间间隔，质点在哪段时间运动得更快？

质点在1-2秒时间间隔内比在在33-34秒时间间隔内运动得快。

如何刻画质点的位置？

需要用一对$x$和$y$来表示。但把它们组合成一个整体会更方便，这个整体就是矢量。

下面我们看看矢量的性质。从一个例子说起，比如，我们要去野营。

第一天从大本营出发走了$5\mathrm {km}$，第二天又走了$5\mathrm {km}$，那么，我们离大本营有多远？

如果只沿x轴行走，能回答这个问题吗？

不能，只说走了$5\mathrm {km}$是不够的，还必须要说明是向左走还是向右走。所以，有三个可能的答案：$10\mathrm {km}$,$0\mathrm {km}$,$-10\mathrm {km}$。三个答案分别是什么情形？

所以，不仅要说走了$5\mathrm {km}$，还要具体到是走了走了$5\mathrm {km}$还是$-5\mathrm {km}$。正负号表示什意思？

表示是沿$x$轴正方向还是负方向走。

加上符号，就能唯一表示出一维运动时的位置了。

但是，在二维空间中，方向有多少种？

无穷多种。只靠左或右，正负号，是不够的。

我们还是用野营的例子来做个说明。如图2.2所示。大本营位于原点，第一天我离开大本营，沿A方向走到点1，第二天的远足，从A的终点出发，沿B走到点2。

两次位置的变化，即位移，可以分别用有向线段$\boldsymbol A$和$\boldsymbol B$表示，这样的有向线段数学上叫做矢量。

矢量是具有起点和终点的有向线段，所以，我们说，矢量具有大小和方向，大小是矢量的长度，方向是它相对于某个固定方向的角度，通常取这个固定方向为x轴。

手写体中，字母上加箭头表示矢量。印刷体中，矢量用黑体表示。字母不加箭头，或不用黑体，仅表示矢量的大小。

看图2.2(a)，我第一天沿$\boldsymbol A$走，第二天沿$\boldsymbol B$走，最后到达点 2，我要是一次性到达点2，该怎么走？

沿图中的$\boldsymbol C$走，我们称$\boldsymbol C$是$\boldsymbol A+\boldsymbol B$。

这确实是两个矢量的和，就像我给你4块钱，再给你5块钱，等价于一次性给你9块钱。这里不是数值相加，是两个位移相加，这里$\boldsymbol C$正是由$\boldsymbol A$和$\boldsymbol B$而引起的等效位移。

通过对位移的研究，可得两个矢量的加法规则：先画出第一个矢量，然后从第一个矢量的终点开始画第二个矢量，这两个矢量的和就是从第一个矢量的起点向第二个矢量的终点画出的矢量。

可以证明$\boldsymbol A +\boldsymbol B = \boldsymbol B + \boldsymbol A$。怎么证？

如图2.2所示，先画出$\boldsymbol B$，再从其终点画$\boldsymbol A $，即图中的虚线箭头，最后的终点也是点2，得到$\boldsymbol B + \boldsymbol A$正是$\boldsymbol A +\boldsymbol B$。

图2.2 矢量加法。(a) 矢量相加 $\boldsymbol A +\boldsymbol B = \boldsymbol B + \boldsymbol A$。(b)矢量的数乘（图中乘数为2）和零矢量

这称为矢量加法的交换律。我们知道普通数字的加法满足交换律，矢量加法也满足同样的交换律。要注意，交换律不是所有情形下都成立，我们后面会见识到这样的情形。

下面我们定义一个特殊的矢量——零矢量，其作用类似于数字0在数字运算中的作用。数字0有何性质？

任何数加上0结果仍是原来的数。类似的，任何矢量加上$\boldsymbol 0$矢量，仍是原来的矢量。

$\boldsymbol 0$矢量长度为0，我们没有办法直观画出来。

看图2.2(b)，先画一个矢量A，接着再画一个矢量A，得到矢量$\boldsymbol A + \boldsymbol A$，这个矢量的长度是矢量$\boldsymbol A$的两倍，方向与$\boldsymbol A$相同，因此$\boldsymbol A + \boldsymbol A=2\boldsymbol A$。这就是矢量的数乘运算。推而广之，2.6乘以一个矢量，所得矢量是原矢量的2.6倍。

一个矢量乘以一个正数，矢量长度会拉长(或缩短)相应的倍数。

我们下面看矢量 $-\boldsymbol A$，如何理解这个矢量？

$-\boldsymbol A + \boldsymbol A$应等于什么？

$\boldsymbol 0$矢量，一个没有长度的矢量。

$\boldsymbol A$ 加上什么矢量才能得到零矢量？

$-\boldsymbol A$，如图2.2(b)中所示。 从$\boldsymbol A$的起点走到$-\boldsymbol A$的终点，最终，你位置没有动，还是$\boldsymbol A$的起点，你得到的是零矢量。

所以，给矢量加上负号，即以-1乘以矢量，就是将它的方向反过来。

然后，你也就能明白矢量乘上一个负数，比如-7.3，是什么含义了。

矢量长度扩大7.3倍，方向与原来相反。

矢量乘以一个数值，这种运算叫做数乘，普通的数值称为标量。

你还可以做更复杂的运算，比如用一个标量乘以一个矢量，再用另一个标量乘以另一个 矢量，然后再加起来。这种运算的 意义是容易理解的，不细说了。

你不需要死记硬背这些法则，唯一的法则就是“自然而然地去做”。