用矢量证明泰勒斯定理

泰勒斯定理说的是：

直径所对的圆周角是直角

下面用矢量来证明之。

如下图所示，

引入矢量

\begin{equation*} \vec{MA}=-\vec{MB}=\mathbf a \end{equation*}

\begin{equation*} \vec{MC}=\mathbf b \end{equation*}

并有如下关系：

\begin{equation*} |\mathbf a|=|\mathbf b| \end{equation*}

\begin{equation*} \vec{BC}=\mathbf a + \mathbf b \end{equation*}

\begin{equation*} \vec{AC}= \mathbf b - \mathbf a \end{equation*}

做矢量点乘：

\begin{equation*} \vec{BC}\cdot\vec{AC} = (\mathbf a + \mathbf b)\cdot (\mathbf b-\mathbf a )=|\mathbf a|^2-|\mathbf b|^2=0 \end{equation*}

因此，$\vec{BC} \perp \vec{AC}$，定理得证。