证明ln2=0 和 2=1

级数求和一定要注意收敛条件，否则会得到很荒谬的结论，比如可以证明 ln2=0 和 2=1。

我们知道下式成立：

\begin{equation} \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\ldots \tag{1}\label{eq1} \end{equation}

所以有：

\begin{equation} \ln 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots \tag{2}\label{eq2} \end{equation}

证明 $\ln2=0$

\begin{equation*} \begin{split} \ln 2 =& 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots \\\\ =&\left (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots\right )-\left (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\ldots\right ) \\\\ =&\left (1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots\right )+\left (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\ldots\right )- \\\\ &2\left (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\ldots\right ) \\\\ =&\left (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots\right )-\left (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots\right ) \\\\ =&0 \end{split} \end{equation*}

得证。

证明 $ 2=1$

已知：

\begin{equation*} \ln 2 = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\ldots \end{equation*}

两边乘以 $2$，有：

\begin{equation*} \begin{split} 2 \ln 2 =& 2-1+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+\frac{2}{5}-\frac{1}{3}+\frac{2}{7}-\frac{1}{4}+\frac{2}{9}-\frac{1}{5}+\ldots \\\\ =&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots \\\\ =&\ln 2 \end{split} \end{equation*}

所以有：

\begin{equation*} 2 = 1 \end{equation*}

以上这两个荒谬的结论的证明，哪里出了问题？

问题在于 $\ln(1+x)$ 展开成的级数方程\eqref{eq1}不是绝对收敛的，而是条件收敛的，条件收敛的级数是不可以任意调整级数各项的位置的。