既然时间是相对的，那当我们谈论宇宙年龄时我们在谈论什么？
原文链接：Q: If time is relative, then how can we talk about how old the universe is?
人类最深刻的洞见之一是时间是相对的。这不是抽象的思想，不是错误，也不是数学制品(mathematical artifact)。如果你有两个一模一样的钟，在同一地方对好表，沿不同的路径，将两钟送到不同的地方，再拿在一起对照，会发现它们走的字的确会不一样。这样的实验早在1971年就做过了。
你可能会问，哪个钟走得对。答案是：都对。每个钟都记录自己的时间，通用的时间是不存在的。但是，宇宙学家经常讨论宇宙的年龄，$137.99\pm 0.21亿年$。我们谈宇宙年龄的时候，我们说的是宇宙中物质的年龄。但是宇宙中万物各自有各自的时间，又怎么能搞出一个时间说是宇宙的年龄？
简短直接的答案是：宇宙万物年龄都差不多。万物之间年龄差得最大的是星系中心处的物质与星系边缘处的物质，年龄差了几百万分之一，即每周差一两秒。大型星系中心处的物质自宇宙历史早期就在那里了，比星系际空间物质年轻不超过5万年。考虑到我们对宇宙年龄的最佳估计的不确定度是2000万年（相对误差0.1%），宇宙中两个地方差个几万年，等于同龄。
两个没毛病的钟表走字不同，有两个原因：双生子佯谬和引力时间膨胀。双生子佯谬是时空几何和我们寻常的空间几何之间的不同带来的奇怪现象。在空间几何中，两点之间沿直线走距离最短。而在时空几何中，两点之间沿直线走时间最长。在时空几何中，“直线”包括一动不动。因此，在同一个地方的两个钟表，带其中一个旅行一圈再送回来，旅行归来的钟表要比待在原地的钟表慢。
双生子佯谬：两点之间路径越直，用的时间越长。引力时间膨胀：距离有质量的物体越远，经历时间越长。
假设旅行的钟匀速运动，它会慢多少时间很容易算出来。假设运动的钟经历的时间为$\tau$，静止的钟经历的时间为$t$，那么有$\tau=t\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}$，其中$v$是运动的钟的速率，$c$为光速。可以看出 $\tau$总是小于$t$。二者之比为$\gamma = \frac{t}{\tau} = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}$。如果运动的钟的速度是变化的，$v(t)$，计算运动的钟的时间需要用到些微积分：$\tau=\int_0^t \sqrt{1-\left(\frac{v(t)}{c}\right)^2},dt=\int_0^t \frac{dt}{\gamma(t)}$。
我们再看引力时间膨胀。引力时间膨胀是时空弯曲引起的，而时空弯曲是能量和物质（主要是物质）造成的。这个事情理解起来有点难。当爱因斯坦最初写下描述质量/能量和时空关系的方程——现在称为爱因斯坦场方程——时，他并没期望他的方程能被解出来（除了平庸的零解）。但是卡尔·史瓦西却从中得到了球形物体周围时空的图形（你想想有多少天体是球形的，就能感觉出这个结果有多重要。）。史瓦西这个工作给出了黑洞的视界，称为史瓦西半径，此半径范围之内的任何东西都无法逃出。
卡尔·史瓦西
幸运的是，在一般情况下（不是在黑洞附近的情况下），我们通过观察天体附近物体下落，可以计算此天体附近不同高度处的时间膨胀。将落体下落速度$v$，代入$\gamma$，就得到了引力造成的时间膨胀了。如果你想得到地球表面附近与距离地球无限远处（远至地球引力可忽略）之间的时间膨胀，就把逃逸速度代入$\gamma$。
一般而言，双生子佯谬的效应小于引力的效应，因为如果物体运动速度大于逃逸速度，就逃离了天体。因此，双生子佯谬代入$\gamma$的速度小于引力效应中代入$\gamma$的速度。对于星系中转动的恒星，你可以非常有把握地说，其运动速度远小于逃逸速度。
地球上的物体的逃逸速度为$11\mathrm{km/s}$，对应的$\gamma = 1.0000000007$，非常接近1，意味着脱离地球吸引的地方的时间与地球附近的时间几乎完全一样，100年才差出2秒。大型星系（比如我们所在的银河系）核心处的物质的逃逸速度数量级为$1000\mathrm{km/s}$，对应的$\gamma = 1.00001$，即脱离星系吸引的地方的时间与星系核心处的时间，每周差出几秒钟。
总之，不管你在宇宙中何处，时间都差不多：时间就是时间。
不可否认，有些特殊的东西例外，如掉入黑洞的物质，接近光速在宇宙中呼啸而过的物质，但是这些特殊情况非常少见。在任意地方都以接近光速运动的东西就是光本身，也有一些个别的物质粒子。光没有时间一说，因此最古老的光子依然是新生的光子。以光子来论宇宙年龄，与我们通常谈的宇宙年龄是完全不同的概念。现在还搞不清楚黑洞中锁定了多少物质，但一般认为只占宇宙中物质总量的很少一点比例。因此，我们谈宇宙中物质年龄，就不考虑黑洞了。
长话短说：当某人说宇宙年龄是138亿年，他们说的是宇宙中物质的年龄，几乎所有物质都同龄。
本文另发表于微信公众号《算法与数学之美》。