如果温度不均匀，气体在重力场中如何分布？

利用重力场中的气体来引入玻尔兹曼分布，是教科书里的常见操作，书上假设温度在气体中是均匀的，然而这就不符合实际。现在稍微考虑一下，温度在竖直方向的不均匀性，是高度$z$的函数，$T=T(z)$。

不过，温度的不均匀性很弱，能让气体保持静止、稳定。

假设气体水平方向上保持均匀。

设在$t$时刻，位于$z\backsim z+\mathrm dz$处，速度$z$分量处于$v_z\backsim v_z+\mathrm dv_z$范围内，的分子数：

$$ \mathrm d^2N(z,v_z,t)=f(z,v_z,t)\mathrm dz\mathrm dv_z \quad \cdots (1) $$

气体分布函数$f(z(t),v_z(t),t)$在$t=0$处做泰勒展开：

$$ \begin{split} f(z,v_z,t)=&f(z,v_z,t=0)+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\mathrm dz}{\mathrm dt}\mathrm dt-\frac{\partial f}{\partial v_z}\frac{\mathrm dv_z}{\mathrm dt}\mathrm dt\\ =&f(z,v_z)+\frac{\partial f}{\partial z}v_z\mathrm dt-g\frac{\partial f}{\partial v_z}\mathrm dt\quad \cdots (2) \end{split} $$

对于定态，分布函数不显然$t$，应有：

$$ v_z\frac{\partial f}{\partial z}=g\frac{\partial f}{\partial v_z} \quad \cdots (3) $$

设气体分子密度分布为$\rho(z)$，分布函数形式应为：

$$ f(z,v_z)=\rho(z)\sqrt{\frac{m}{2\pi kT(z)}}\exp\left[-\frac{mv_z^2}{2 kT(z)} \right] \quad \cdots (4) $$

求导，

$$ \begin{split} \frac{\partial f}{\partial z}=&\frac{\mathrm d\rho(z)}{\mathrm dz}\cdot \sqrt{\frac{m}{2\pi kT(z)}}\exp\left[-\frac{mv_z^2}{2 kT(z)} \right] \\ & -\frac{1}{2T(z)}\frac{\mathrm dT(z)}{\mathrm dz}\cdot \rho(z)\sqrt{\frac{m}{2\pi kT(z)}}\exp\left[-\frac{mv_z^2}{2 kT(z)} \right]\\ &+\rho(z)\sqrt{\frac{m}{2\pi kT(z)}}\exp\left[-\frac{mv_z^2}{2 kT(z)} \right]\cdot \left[\frac{mv_z^2}{2 kT^2(z)} \right] \frac{\mathrm dT(z)}{\mathrm dz} \\ =&\frac{\mathrm d\ln \rho(z)}{\mathrm dz} f(z,v_z)-\frac{1}{2}\frac{\mathrm d\ln T(z)}{\mathrm dz}f(z,v_z)\\ &+\frac{mv_z^2}{2 kT(z)}\frac{\mathrm d\ln T(z)}{\mathrm dz}f(z,v_z) \\ =&\left[\frac{\mathrm d\ln \rho(z)}{\mathrm dz}-\frac{1}{2}\left(1-\frac{mv_z^2}{kT(z)}\right)\frac{\mathrm d\ln T(z)}{\mathrm dz} \right]f(z,v_z)\\ &\quad \cdots \cdots (5) \end{split} $$

$$ \begin{split} \frac{\partial f}{\partial v_z}=&-\frac{mv_z}{ kT(z)}\cdot \rho(z)\sqrt{\frac{m}{2\pi kT(z)}}\exp\left[-\frac{mv_z^2}{2 kT(z)} \right] \\ =& -\frac{mv_z}{ kT(z)}f(z,v_z) \quad \cdots \cdots (6) \end{split} $$

将式(5)和(6)代入式(3)，得：

$$ \begin{split} & v_z\frac{\partial f}{\partial z}=g\frac{\partial f}{\partial v_z} \\ & v_z\left[\frac{\mathrm d\ln \rho(z)}{\mathrm dz}-\frac{1}{2}\left(1-\frac{mv_z^2}{kT(z)}\right)\frac{\mathrm d\ln T(z)}{\mathrm dz} \right]f(z,v_z)=-\frac{mgv_z}{ kT(z)}f(z,v_z) \\ & \left[\frac{\mathrm d\ln \rho(z)}{\mathrm dz}-\frac{1}{2}\left(1-\frac{mv_z^2}{kT(z)}\right)\frac{\mathrm d\ln T(z)}{\mathrm dz} \right]f(z,v_z)=-\frac{mg}{ kT(z)}f(z,v_z) \\ & \frac{\mathrm d\ln \rho(z)}{\mathrm dz}-\frac{1}{2}\left(1-\frac{mv_z^2}{kT(z)}\right)\frac{\mathrm d\ln T(z)}{\mathrm dz}=-\frac{mg}{ kT(z)} \cdots (7) \end{split} $$

如果温度不均匀，气体密度分布满足式(7)。

如果温度均匀，$\frac{\mathrm d\ln T(z)}{\mathrm dz}=0$，式(7)变为：

$$ \frac{\mathrm d\ln \rho(z)}{\mathrm dz}=-\frac{mg}{ kT} \cdots (8) $$

解这个方程，可得：

$$ \rho(z)=\rho_0 \exp \left(-\frac{mgz}{ kT}\right) \quad \cdots \cdots (9) $$

正是我们已经知道的结果。