狄拉克δ函数的导数
狄拉克δ函数的图像像个钉子，如下图所示，谈论他的导数好像比较奇怪。
δ函数
我们从狄拉克δ函数的积分性质开始它的导数。狄拉克δ函数具有如下性质：
\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)\mathrm dx=f(0) \tag{1}\label{eq1} \end{equation}
狄拉克δ函数的$n$阶导数为$\delta^{(n)}(x)$，做如下分部积分
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=f(x)\delta^{(n-1)}(x)\big\lvert_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)\delta^{(n-1)}(x)\mathrm dx
\tag{2}\label{eq2}
\end{equation}
第一项是0，因为狄拉克δ函数在$x\neq 0$的地方是常数0，因此导数也为0。于是我们有
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta^{(n)}(x)\mathrm dx=-\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)\delta^{(n-1)}(x)\mathrm dx
\tag{3}\label{eq3}
\end{equation}
上式对任意函数$f(x)$都成立，因此两边被积函数相等，
\begin{equation}
f(x)\delta^{(n)}(x) =- f'(x)\delta^{(n-1)}(x)
\tag{4}\label{eq4}
\end{equation}
对于一阶导数有
\begin{equation}
f(x)\delta'(x) =- f'(x)\delta(x)
\tag{5}\label{eq5}
\end{equation}
如果$f(x)=x$，有
\begin{equation}
x\delta'(x) =- \delta(x)
\tag{6}\label{eq6}
\end{equation}
将\eqref{eq4}迭代下去，得
\begin{equation}
f(x)\delta^{(n)}(x) =(-1)^n \delta(x)\prod_{k=1}^nf^{(k)}(x)
\tag{7}\label{eq7}
\end{equation}
例1 令$f(x)=4x^2-1$，有
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} (4x^2-1)\delta'(x-3)\mathrm dx=-\int_{-\infty}^{\infty} 8x\delta(x-3)\mathrm dx=-24
\tag{8}\label{eq8}
\end{equation}
例2 令$f(x)=x^n$，由\eqref{eq7}式有
\begin{equation}
x^n\delta^{(n)}(x) =(-1)^n n!\delta(x)
\tag{9}\label{eq9}
\end{equation}
博主您好！第7式的连乘应该是错的吧！我们可以直接推导一个函数与\delta函数二阶导数的积分，没有理由会出现连乘吧！
这篇文章问题太多了……
别看了
请问（7）式为什么不是直接为函数f(x)的n阶倒数，前面为什还有一个还求直积呀
第一项是0，因为狄拉克δ函数在x≠0的地方是常数0，因此导数也为0，这里有问题吧
这里不太对
根据（4）式考虑一阶和二阶导数的关系，另f(x)=x，同样会得到一阶导数与二阶导数间差-x这一个因子，那么原狄拉克函数和其二阶导数就只差x^2这一个因子，没有2！这一项。由（4）式到（7）式貌似确实不会出现阶乘项吧。
在https://physics.stackexchange.com/questions/86041/peskin-and-schroeder-equation-2-56中提到公式5只有在f(0)=0时才是成立的，这个说法是否正确呢？
按照广义函数的定义，这里应该要求f在无穷远处的极限是0，而不是f(0)=0
我感觉你发的链接里说的不对
第一步分部积分处“第一项是0，因为狄拉克δ函数在x≠0的地方是常数0，因此导数也为0。”这不直接用了狄拉克函数导数为零？
你说的对啊。容我再想想。
请问公式结论现在可以直接用么？或者在什么限制条件下是成立的？
最后的结论是对的。