Essential University Physics 23.3 使用电容器
23.3 使用电容器
图23.5 典型电容器。最大者为电解质电容器，电容大小为 $18\mathrm {mF}$。右上为空气绝缘可变电容器，转动导体板，改变电容大小。下边4个较小的电容器的电容从 $43 \mathrm{pF}$ 到 $10 \mathrm{\mu F}$ 不等。
电容器是现代技术中的基本元件。你的计算机内存里有几十亿个电容为 $25\mathrm{fF}$ （$1\mathrm{fF}=10^{-15}\mathrm F$）的电容器，每个电容器储存 1 比特的信息。立体声音响里有电容大小为 $\mathrm{mF}$ 的电容器，将 $60\mathrm{Hz}$ 的交流电变成直流电。还有超级电容器，电容大小为几百法拉，可以瞬时释放巨大能量，用于启动混合动力汽车、大巴、地铁。图23.5为电子设备中几种典型的电容器。
实用电容器
由\eqref{23.2}式，要得到电容较大的电容器，可以增大导体板面积，减小导体板间距。对于其他形状的电容器，也有类似规律。廉价的电容器通常是圆柱状三明治结构，两长条铝箔夹着一层薄的塑料绝缘体。大型大容器通常是电解质电容器，两导体板加上电压之后，通过化学反应形成薄绝缘层。电容器是集成电路芯片中最难以制造的元件之一。
我们前面分析的平行板电容器，两导体板之间为空气。而实际中的电容器，导体之间一般夹有绝缘物质，即电介质。电介质分子带有电偶极矩，但是材料内部没有自由电荷。在 20.5 节我们知道，电偶极子有序排列，可以减弱电介质材料内部电场。在电容器中，这一效应可以减小两导体板之间的电势差$V$，如图23.6所示。电场和电势减弱的因子为介电常数（注：中国物理学名词推荐使用“电容率”），$\kappa$。对于给定电量$Q$，电势差减小意味着电容增大，$C=Q/V$。因此，夹有电介质的平行板电容器的电容为：
\begin{equation}
C=\kappa \frac{\epsilon_0 A}{d} \quad (夹有电介质的平行板电容器)
\label{23.4}\tag{23.4}
\end{equation}
图23.6 夹有电介质的电容器。
绝大部分材料的介电常数介于 2 到 10 之间，见表23.1.有些钽化合物具有较高的介电常数，使钽这种稀有元素在当今电子时代称为至关重要的材料。
使用电容器另外一个要考虑的因素是工作电压，即最大安全电势差，超过此值，电容器有被击穿的风险。对于某给定材料，电场超过某值，材料会被击穿。空气击穿电场为 $3 \mathrm{MV/m}$，而聚乙烯的击穿电场为 $50 \mathrm{MV/m}$。在平行板电容器中，电场 $E = V/d$，因此间距越小，击穿电压越小。因此，在大电容（小$d$）和高工作电压（大$d$）之间需要作出权衡。电容大同时工作电压也高的电容器是非常贵的！
表格23.1 常见电介质的性质
|电介质材料|介电常数|击穿电场($\mathrm{MV/m}$)|
|--|--|--|
|空气|1.0006|3
|氧化铝|8.4| 670
|派热克斯玻璃| 5.6| 14
|纸张| 3.5| 14
|有机玻璃| 3.4 |40
|聚乙烯| 2.3 |50
|聚苯乙烯| 2.6 |25
|石英| 3.8 |8
|氧化钽| 26 |500
|聚四氟乙烯| 2.1 |60
|水| 80 |与时间和纯度有关
例题23.2 求电荷与静电能：选择电容器
一 $100\mathrm{\mu F}$ 的电容器，工作电压为$20 \mathrm{V}$，另一 $1.0\mathrm{\mu F}$ 的电容器工作电压为 $300 \mathrm{V}$。哪个电容器存储电荷多？哪个电容器储能多？
分析：题目涉及电容器在工作电压约束条件下存储电荷和静电能问题。
根据(23.1)式，$Q=CV$，可确定存储电荷。根据(23.3)，$U=CV^2/2$，可求得存储静电能。将$V$代入工作电压，可得最大能存储多少电荷和多少静电能。
计算：两个电容器最多能存储的电量分别为
\begin{equation*} Q_{100\mathrm{\mu F}}=CV=100\times 20 \mathrm{\mu C}= 2.0\mathrm{mC} \end{equation*}
\begin{equation*} Q_{1.0\mathrm{\mu F}}=0.30\mathrm{mC} \end{equation*}
最多能储存的静电能：
\begin{equation*} U_{100\mathrm{\mu F}}=\frac{CV^2}{2}=\frac{100\times 20^2}{2} \mathrm{\mu J}= 20\mathrm{mJ} \end{equation*}
\begin{equation*} U_{1.0\mathrm{\mu F}}=45\mathrm{mJ} \end{equation*}
因此， $100\mathrm{\mu F}$ 的电容器存储电荷多， $1.0\mathrm{\mu F}$ 的电容器存储静电能多。
检查：结果合理吗？电容大存储电荷多，尽管工作电压低。但是存储的静电能正比于$V^2$，因此电容小也可以存储更多静电能，因为其工作电压高。
课堂练习 23.3
你需要换掉一个电容器，以存储更多能量，你会如何做？(a) 选工作电压相同而电容大一倍的电容器；(b) 选电容相等而工作电压大一倍的电容器。
电容器并联
将多个电容器连起来，可以达到单个电容器所没有的电容和工作电压。电容器基本连接方式有两种：并联和串联，如图23.7所示。
图23.7 电容器(a) 并联和 (b) 串联。
一组电容分别为 $C_1$、$C_2$、$\cdots$、的电容器并联，各电容器两端电势差相等，设均为$V$，各电容器所带电量分别为 $Q_1=C_1V$、$Q_2=C_2V$、$\cdots$。并联电容器所带总电量为 $Q=Q_1+Q_2+\cdots =(C_1+C_2+\cdots)V$。电容器并联之后等效电容为$C=Q/V$，因此等效电容为
\begin{equation}
C=C_1+C_2+\cdots \quad (电容器并联)
\label{23.5}\tag{23.5}
\end{equation}
电容器串联
我们细致分析一下图23.7b中的电容器的串联，如图23.8所示。串联的各电容器所带电量相等，设均为 $Q$。各电容器两端电势差不相等，分别为 $V_1=Q/C_1$、$V_2=Q/C_2$、$\cdots$。串联电容器两端总的电势差为 $V=V_1+V_2+\cdots=Q/C_1+Q/C_2+\cdots$。两边同除以 $Q$，得 $V/Q$ 的表达式，即等效电容 $ C=Q/V$的倒数的表达式，即
\begin{equation}
\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots \quad (电容器串联)
\label{23.6}\tag{23.6}
\end{equation}
总电容小于各串联电容。
图23.8 串联的各电容器所带电量相等。
概念例题 23.1 电容器并联和串联
利用平行板电容器解释，为何电容器并联之后总电容升高，而串联之后，总电容减小？工作电压如何变化？
分析：由(23.2)式，电容随导体板面积增大而增大，随导体板间距增大而减小。由图23.7a可见，电容器并联相当于增大了导体板面积，而导体板间距并没有变化，因此总电容增大。而电容器串联，由图23.7b，导体板间距为各电容器中导体板间距之和，因此相当于增大了导体板间距，所以总电容减小。
下面分析工作电压。由图23.7a，并联的各电容器两端电压相等，因此整体工作电压为分电容器最低者一致。由图23.7b，串联的各电容器两端电压都小于总电压，因此工作电压增大。增大的程度与各电容器的电容的比值有关。
电容器串联和并联，可以使我们由常见的电容器获得任意电容和工作电压的电容器。你可能会问，连接电容器的导线对电容有何影响？没有任何影响，因为导线不分离电荷，电荷可沿导线自由移动。
定量计算：两个电容为 $10\mathrm{\mu F}$ 的电容器，工作电压均为 $15\mathrm V$，分别串联和并联在一起，电容和工作电压分别变为多少？
计算：应用\eqref{23.5}式，电容器并联之后，总电容为各电容器电容之和，由题意，总电容为 $C=20\mathrm{\mu F}$，两电容器两端电压相等，因此工作电压仍为 $15\mathrm V$。由\eqref{23.6}式，电容器串联之后，易计算得总电容为 $C=5\mathrm{\mu F}$。两电容器完全相同，分担相同的电压，因此总工作电压为 $30\mathrm V$。
课堂练习23.4
有两个完全相同的电容器，电容均为 $C$，如何连接两电容器，可获得如下电容：(1) $2C$，(2) $C/2$？哪种连接方式工作电压比较大？
例题23.3 等效电容：电容器连接
求图23.9a中的等效电容。如果 A、B 两点之间最大电压为 $100 \mathrm V$，电容器 $C_1$ 的工作电压应为多少？
图23.9 求等效电容。
分析：三个电容器的串并联混合连接。
我们要对电路进行化简。每次处理两个电容器，将其看做一个等效电容器，重画电路图，一直化简到电路中只有一个电容器。首先看出 $C_2$ 和 $C_3$ 是并联的，根据\eqref{23.5}式，计算出等效电容 $C_{23}=C_2+C_3$。重画电路图如图23.9b所示。可以看出，$C_1$ 和 $C_{23}$ 串联，等效电容根据\eqref{23.6}式计算得 $C_{123}=C_1C_{23}/(C_1+C_{23})$。重画电路图如图23.9c所示。
然后，我们分析 $C_1$ 的工作电压。我们从图23.9c向前分析，直到求出 $C_1$ 的工作电压。由 A、B 两端电压 $V_{AB}$，可得 $C_{123}$ 上的电量，$Q_{123}=C_{123}V_{AB}$。$C_{123}$ 是 $C_1$ 和 $C_{23}$ 串联所得的等效电容，因此 $C_1$ 所带电量为 $Q_1=Q_{123}$，然后可得 $C_1$ 两端的电压为 $V_1=Q_1/C_1$。
计算：$C_{23}=C_2+C_3=4.0\mathrm {\mu F}$，$C_{123}=C_1C_{23}/(C_1+C_{23})=3.0\mathrm {\mu F}$， $C_1$ 所带电量为 $Q_1=Q_{123}=C_{123}V_{AB}=300\mathrm{\mu C}$， $C_1$ 两端的电压为 $V_1=Q_1/C_1=25\mathrm V$，此即 $C_1$ 所允许的最小工作电压。
检查：结果合理吗？由于 $C_1$ 和 $C_{23}$ 串联，二者共同承担 A、B 两端电压，因此 $C_1$ 工作电压要低一些。$C_1$ 和 $C_{23}$ 电量相同，而 $C_1$ 电容较大，$V=Q/C$，因此 $C_1$ 承担的电压较小。