用Matlab bvp4c 解带未知参数的常微分方程边值问题,怎么给出合适的初值?



用算出来的一个结果做为初值,即continuation 方法。下面用具体的例子作为说明。例子来自Solving ODEs with Matlab

方程为:

\begin{equation*} \begin{split} f'''-R[(f')^2-ff'']+RA=&0\\ R''+Rfh'+1=&0\\ \theta ''+P_ef\theta '=&0 \end{split} \end{equation*}

边界条件为:

\begin{equation*} \begin{split} f(0)=f'(0)=&0\\ f(1)=f'(1)=&1\\ h(0)=h(1)=&0\\ \theta(0)=&0\\ \theta(1)=&1 \end{split} \end{equation*}

方程描述流体描述流体流过竖直管道的问题,其中 $R$ 为常数,在模型中为雷诺数。常数$P_e=0.7R$,在模型中为佩克莱特数。$A$ 为我们要计算的未知常数。

给定 $R=100, 1000, 10000$,分别解方程。$R=100$时,很容易得到结果,$R=1000, 10000$时程序不收敛,可以把$R=100$时的结果作为初值代入,则顺利得到结果。

下面给出两个程序。

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用Matlab bvp4c 解带未知参数的常微分方程边值问题




要求解的方程选自Data-Driven Modeling Scientific Computation 一书的§7.7。

方程为:

\begin{equation*} y''+(100-\beta)y+\gamma y^3=0 \end{equation*}

边界条件:

\begin{equation*} \begin{split} y(-1)=&0\\ y(1)=&0\\ y(-1)=&0.1 \end{split} \end{equation*}

给定$\gamma=1$ 解 $\beta$ 和 $y(x)$。

程序如下:

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引力波秘史



两个黑洞合并,扰动空间,产生了引力波,引力波跨越10亿光年的浩瀚距离,抵达地球,被人类直接观测到。2016年2月11日,美国激光干涉引力波天文台(LIGO)宣布了这一消息。消息传来,世界各地的科学家们喜大普奔。宇宙学共同体的许多成员等待这个消息已等了大半生,有人当时甚至热泪盈眶。

LIGO的这一成就还马上激发了公众的想象力,从那个历史性的2月那一天开始,引力波天文学一直是新闻话题。新增引力波探测事件陆续发布。最突出的事件是,在2017年8月17日,LIGO记录了两颗中子星碰撞产生的引力波。为了表彰LIGO的成功,项目负责人获得了2017年诺贝尔物理学奖。在这一波波新闻中,广被重复的一句话“引力波是爱因斯坦在一个世纪前根据他的广义相对论首次预言的。”好像是为这项研究盖棺论定。

如果只为兜售一个复杂的故事,这种说法可能是有用的,但它实际上抹去了整个历史背景。与传统观点相反的是,爱因斯坦并不是20世纪初唯一一个试图建立引力场的现代描述的物理学家。事后看来,我们可以说,几乎所有的引力理论都能预测引力波,只要它认为对引力场的扰动必须以有限速度传播。

此外,爱因斯坦本人并没有立即得出明确的结论。在1916年完成了广义相对论之后,他最初对引力波的概念弃之如敝屣,而他的第一篇关于这一主题的论文却错得离谱。爱因斯坦很快就又回到了正确的轨道,但二十年后,他却认为引力波没有物理实在性,并且此后余生中一直对引力波持怀疑态度。

就像大多数科学概念一样,引力波概念也是经过许多科学家的共同工作,历经多年岁月,才逐渐形成。那些科学家既不天真幼稚,也不剽窃抄袭。他们只是为解决一个长期公认的问题,共同努力,有时友好协作,有时较劲竞争。在努力研究过程中,他们不大认为自己的工作是革命性的,而更可能认为是渐进性的。


引力波是由猛烈的天文事件产生的,比如黑洞或中子星碰撞。这张全天星图上的彩色斑块处正是第一个探测到的引力波信号的位置。

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黑洞发灰会挥发——浅谈霍金的开创性研究



原文链接:Black holes aren't totally black, and other insights from Stephen Hawking's groundbreaking work

史蒂芬·霍金,英国数学物理学家和宇宙学家,以身残志坚的科学传奇形象和畅销全球的科普著作如《时间简史》等为公众所熟知,在学术界以探索黑洞和量子物理之间的关系的研究而闻名。超大质量恒星耗尽燃料走向“死亡”时,在自身引力作用下坍缩,死后的“遗体”就是黑洞。恒星的遗体被自身引力压缩得非常小,引力非常大,连光都无法逃脱,因此称为黑洞。黑洞激发了全世界大众的想象。霍金细致的理论研究填补了物理学家关于黑洞知识的一些漏洞。

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