雪花图鉴



冬天的雪总给人们带来无尽的乐趣,这种乐趣还通过社交媒体,传递给更多的人。飞雪漫舞、银装素裹,雪花集体带给人无尽美的享受,其实,雪花个体的美也很令人震撼。你要是不信,下次下雪的时候,穿上你的雪地靴,带上放大镜,近距离观察飘落的雪花。你要是等不及,本文让你先睹为快。

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耶鲁基础物理4.1一道解过的例题

物理学的目标是能够根据当前已知的事情预测未来。我来举一个非常简单的例子,看看牛顿定律是如何实现这个目标的。



图4.1 质量为$m$的物体与劲度系数为$k$的弹簧相连,虚线表示这个物体偏离平衡位置$x$远处。

如图4.1所示,在光滑桌面上有一个质量为$m$的物体,与劲度系数为$k$的弹簧相连,弹簧的另一端固定于静止的墙上。虚线表示这个物体正位于距离平衡位置$x$远处。我把这个物体拖动一段距离$A$,然后释放。以上就是我们所知道的全部。这个物体会如何运动?

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耶鲁基础物理3.5重量与失重



图3.5 左图:电梯的加速度为$a$,一人站在弹簧秤上,虚线为秤的弹簧。右图:人和弹簧的受力分析。

现在我们看你在电梯里会发生什么。如图3.5所示,电梯地板上有个弹簧秤,你站在秤上。电梯加速度是$a$,为正数(表示方向向上)。秤的读数为何?

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耶鲁基础物理3.4 牛顿第三定律



牛顿第三定律的内容是:有1、2两个物体,2对1的作用力$\boldsymbol F_{12}$与1对2的作用力$\boldsymbol F_{12}$大小相等方向相反,即

\begin{equation} \boldsymbol F_{12}=-\boldsymbol F_{21} \label{3.9}\tag{3.9} \end{equation}

下面谈谈这个定律的应用。

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证明32.5=31.5



根据上图,三角形A占据了$13\times 5$个格,面积$32.5$,将三角形调整一下,得三角形B,占据的格数却少了一个,面积变成31.5。

下面的动图,可以看得更清楚:



问题出在哪里?

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耶鲁基础物理3.3第二定律的两个应用



我们回到弹簧。若伸长量为$x$,弹簧所施加的力$F(x)$有多大?这里x是相对于弹簧既不被压缩也不被拉伸的那个点测量出来的。如果$x$是正值,说明弹簧被拉伸,如果$x$是负值,说明弹簧被压缩。对于任何给定的$x$,可以测量出力$F(x)$对质量为$m$的物体的加速度,根据$F=ma$,可测量出相应的 $F(x)$。改变弹簧的伸长量,测量出一系列$F(x)$,可画出相应的曲线。当$x$比较小时,这条曲线将是斜率为$-k$的直线,即

\begin{equation} F=-kx \label{3.6}\tag{3.6} \end{equation}

其中,$k$叫做弹簧的劲度系数。负号是什么意思?

负号表明,如果向右拉伸弹簧,$x>0$,$F(x)<0$,表示弹簧所施加的力将向左,如果向左压缩弹簧,$x<0$,$F(x)>0$,弹簧所施加的力将向右。



图3.1 (左图)劲度系数为$k$的弹簧(虚线)一端系有质量为$m$的物体,另一端固定在墙上,物体的位移$x$是相对弹簧的平衡位置测量的。(右图)力$F(x)$随$x$变化的函数关系。

两个方程,$F=ma$和$F=-kx$,第一个表示牛顿定律,第二个表示什么?两个方程有何区别?

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