理论物理极础之插播数学2:积分

“乔治,我干事喜欢反着来。微分能反着来吗?”
“当然可以,莱尼,那就是积分。”

积分

微分处理的是变化率。积分做的是把许许多多微小的增量加起来求和。乍一看,微分与积分毫无关系,其实它们密切相关。

我们先画一个函数$f(t)$的图,如图1所示。

积分的中心问题是计算函数$f(t)$曲线下面的面积。为了使这个问题显得更清楚,我们考虑一段函数,如$t=a$和$t=b$之间的函数,选取的自变量这两个值称为积分限。我们要计算图2中阴影部分的面积。

要计算这个面积,我们把阴影部分分成很多很多纤薄的矩形(如图3),把这些小矩形的面积加起来,就是我们要求的面积。

当然,这样得到的是近似结果,但是,当矩形的宽度趋于0,我们将得到准确结果。下面说一下计算步骤。第一步,把$t=a$和$t=b$之间的区域分成$N$个次区域,每个次区域的宽度为$\Delta t$。对于某个$t$处的小矩形,宽为$\Delta t$,高为此处的函数值$f(t)$,于是可得此处小矩形的面积为$\delta A =f(t)\Delta t$。

把所有的这些小矩形的面积加起来,就得到要求的阴影部分面积的近似值,

\begin{equation*}A =\sum_i f(t_i)\Delta t\end{equation*}

其中的大写希腊字母$\Sigma$表示求和,即把一系列用$i$标记的值加起来。比如$N=3$,就有

\begin{equation*}A =\sum_i f(t_i)\Delta t=f(t_1)\Delta t+f(t_2)\Delta t+f(t_3)\Delta t\end{equation*}

这里$t_i$表示第$i$个小矩形在$t$轴上的位置。

$\Delta t$趋于0,小矩形数目$N$趋于无穷,求出此时小矩形面积和的极限,此即为要求的面积的准确值,也即是$f(t)$的定积分的定义,写为下式:

\begin{equation*} A =\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\sum_i f(t_i)\Delta t=\int_a^b f(t)dt\end{equation*}

积分符号$\int$取代了求和符号,$dt$取代了$\Delta t$,积分符号里面的函数$f(t)$称为被积函数

把上式中的$b$,换成$T$,得到这样一个积分,

\begin{equation*}\int_a^T f(t)dt\end{equation*}

把$T$看成一个变量,上式这个积分就是变量$T$函数(注意不是$t$的函数):

\begin{equation*}F(T)=\int_a^T f(t)dt\end{equation*}

由一个给定的函数$f(t)$,定义出一个新的函数$F(T)$。前面的$a$也是可以变的,这里我们不考虑这种情况。这个新的函数$F(T)$称为$f(t)$的不定积分。称为不定积分,因为我们不是从一个固定值积分到另一个固定值,而是积分到另一个变量。对于不定积分,我们通常不写上下限,写为如下形式:

\begin{equation}F(t)=\int f(t)dt\tag{1}\label{eq:infd}\end{equation}

微分和积分之间有深刻联系,如果$F(t)=\int f(t)dt$,则有

\begin{equation*}f(t)=\frac{dF(t)}{dt}\end{equation*}

这个联系就叫做微积分基本定理,下面我们说明一下这个结果的由来。变量$T$有个小的增量,从$T$变到$T+\Delta t$,于是有个新的积分,

\begin{equation*}F(T+\Delta t)=\int_a^{T+\Delta t} f(t)dt\end{equation*}

即在图3阴影部分$t=T$处新加了一块宽为$\Delta t$矩形,于是差$F(T+\Delta t)-F(T)$即为多出来的这块小矩形的面积,

\begin{equation*}F(T+\Delta t)-F(T)=f(T)\Delta t\end{equation*}

两边除以$\Delta t$,

\begin{equation*}\frac{F(T+\Delta t)-F(T)}{\Delta t}=f(T)\end{equation*}

取极限$\Delta t \rightarrow 0$,有:

\begin{equation*}\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{F(T+\Delta t)-F(T)}{\Delta t}=\frac{dF}{dT}=f(T)\end{equation*}

换一下变量的符号,则有

\begin{equation*}\frac{dF(t)}{dt}=f(t)\end{equation*}

这说明,积分和微分是逆运算,积分的导数即原被积函数。

知道$F(t)$的导数是$f(t)$就能完全确定$F(t)$吗?还不能完全确定,因为$F(t)$加上一个常数不改变它的导数。给定一个函数$f(t)$,它的不定积分的函数形式是不定的,如果$F(t)$是$f(t)$的不定积分,$F(t)$加上任意常数之后,$F(t)+C$也是$f(t)$的不定积分。

下面我们说明一下微积分基本定理的应用。比如我们计算函数$f(t)=t^n$的积分,

\begin{equation*}F(t)=\int f(t)dt\end{equation*}

根据微积分基本定理,有

\begin{equation*}f(t)=\frac{dF(t)}{dt}\end{equation*}

\begin{equation*}t^n=\frac{dF(t)}{dt}\end{equation*}

现在的任务就是找到一个函数$F(t)$,它的导数是$t^n$,这不是难事。

我们在上一章就已经知道,

\begin{equation*}\frac{d(t^m)}{dt}=mt^{m-1}\end{equation*}

令$m=n+1$,则有

\begin{equation*}\frac{d(t^{n+1})}{dt}=(n+1)t^n\end{equation*}

两边除以$n+1$,有

\begin{equation*}\frac{d(t^{n+1}/n+1)}{dt}=t^n\end{equation*}

因此,$ t^n$是$ \frac{t^{n+1}}{n+1}$的导数,所以,

\begin{equation*}F(t)=\int t^ndt=\frac{t^{n+1}}{n+1}\end{equation*}

再加上任意的常数,就得到$t^n$的不定积分,

\begin{equation*}\int t^ndt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C\end{equation*}

积分常数$C$需要其他的条件来确定。

出现这个任意的常数是因为积分的一个积分限没有确定。如果我们选定另一个积分限,即前述的$a$,由$a$就可以确定常数$C$。考虑积分

\begin{equation*}\int_a^Tf(t)dt\end{equation*}

当两个积分限为同一点,即 $T=a$,积分必为0,由此可确定积分常数$C$。

一般情形下的微积分基本定理写为如下形式:

\begin{equation} \int_a^b f(t)dt=F(t)\big |_a^b=F(b)-F(a)\tag{2}\label{eq:def}\end{equation}

另外一个表述方式是

\begin{equation} \int \frac{df}{dt}dt=f(t)+C\tag{3}\label{eq:const}\end{equation}

即对函数的导数积分得到原来的函数(加上一个任意常数)。

以下是几个有用的积分公式:

\begin{equation*}\int C dt=Ct+C'\end{equation*}(注:原文漏掉第二个常数$C'$) \begin{equation*}\int Cf(t)dt=C \int f(t)dt\end{equation*} \begin{equation*}\int t dt=\frac{t^2}{2}+C\end{equation*} \begin{equation*}\int t^2 dt=\frac{t^3}{3}+C\end{equation*} \begin{equation*}\int t^ndt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C\end{equation*} \begin{equation*}\int \sin t dt =-\cos t +C\end{equation*} \begin{equation*}\int \cos t dt =\sin t +C\end{equation*} \begin{equation*}\int e^t dt = e^t +C\end{equation*} \begin{equation*}\int \frac{dt}{t} = \ln t +C\end{equation*} (注:原文漏掉常数$C$) \begin{equation*}\int [f(t) \pm g(t)]dt = \int f(t)dt \pm \int g(t) dt \end{equation*}

练习1:求下列函数的不定积分:$$f(t)=t^4$$ $$f(t)=\cos t$$ $$f(t)=t^2-a$$

练习2:取积分限分别为$t=0$和$t=T$,应用微积分基本定理重新计算练习1中的积分。

练习3:把练习1中的函数视为一个粒子的加速度的表达式,积分一次,得到粒子的速度,再积分一次,得到粒子的轨迹。我们取$t$为积分限,把函数的哑变量改为$t'$,将函数从$t'0$积分到$t'=t$,$$v(t)=\int_0^t t'^4 dt'$$ $$v(t)=\int_0^t \cos t' dt'$$ $$v(t)=\int_0^t (t'^2-a) dt'$$

分部积分

计算积分可以查表,或者用数学软件Mathematica。如果不得不手算,有个古老的技巧,非常有用,这就是分部积分。我们曾在上一章讲过两个函数的积的导数:

\begin{equation*}\frac{d[f(x)g(x)]}{dx}=f(x)\frac{dg(x)}{dx}+g(x)\frac{df(x)}{dx}\end{equation*}

对上式两边进行积分,从$x=a$积到$x=b$,

\begin{equation*}\int \frac{d[f(x)g(x)]}{dx}dx=\int f(x)\frac{dg(x)}{dx} dx + \int g(x)\frac{df(x)}{dx} dx\end{equation*}

上式的左边比较容易,函数导数的积分是函数本身,即上式的左边为

\begin{equation*}f(b)g(b)-f(a)g(a)\end{equation*}

常写为如下形式:

\begin{equation*}f(x)g(x)\vert_a^b\end{equation*}

现在把右边其中一项移到左边,

\begin{equation} f(x)g(x)|_a^b-\int f(x)\frac{dg(x)}{dx} dx=\int g(x)\frac{df(x)}{dx} dx \tag{4}\label{eq:part}\end{equation}

现在考虑计算一个积分,被积函数恰好是一个函数$f(x)$与另外一个函数$g(x)$的导数的积,即方程(\ref{eq:part})右边的形式,如果直接积分没办法算,可以转换成方程(\ref{eq:part})左边的形式,如果运气好,左边的积分$\int f(x)\frac{dg(x)}{dx} dx$我们会算,那么方程(\ref{eq:part})右边的积分也就算出来了。

下面我们举个例子。比如计算如下积分:

\begin{equation*}\int_0^{\pi/2}x\cos x dx\end{equation*}

注意到 $\cos x = \frac{d\sin x}{dx}$,于是要求的积分变成

\begin{equation*}\int_0^{\pi/2}x \frac{d\sin x}{dx} dx\end{equation*}

根据方程(\eqref{eq:part}),上式结果为:

\begin{equation*}x\sin x|_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{dx}\sin x dx\end{equation*}

也即

\begin{equation*}x\sin x|_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x dx\end{equation*}

$\int_0^{\pi/2}\sin x dx$我们会算,那么剩下的事情比较容易了,请自己完成。

练习4:完成积分$\int_0^{\pi/2}x\cos x dx$的计算

你可能会问,分部积分这个技巧很常用吗?答案是:很常用,但不是每次都好用,看运气了。

标签: 分部积分, 积分, 微积分基本定理

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