从地球一端到另一端的地心之旅需要多久？
里约奥运会闭幕式上，日本首相安倍晋三上演惊艳一幕，扮演成超级马里奥现身。马里奥在日本跳人管道，穿过地心，从另一端巴西钻了出来。那么这个地心之旅需要多长时间呢？
原文链接：Journey through the center of the Earth
跳入贯穿地球的洞
假设你在地球上钻个洞，然后跳进去，多长时间你会从另一端跑出来？
在地球表面上的重力加速度为
\begin{equation*} g=\frac{GM_地}{R^2}=9.8\mathrm{m/s^2} \end{equation*}
其中$M_地$为地球质量，$R$为地球半径。
但是随着你在洞里下落，越来越接近地心，你重力加速度也越来越小。当你正好到达地心的时候，重力加速度为0。假设地球完美球体，质量均匀分布，忽略空气阻力，忽略地球内部的高温，则当你距离球心$r$处时，等效重力加速度
\begin{equation*} g_{等效}=\frac{GM(r)}{r^2}=\frac{G}{r^2}\left (\rho\frac{4\pi}{3}r^3\right ) \end{equation*}
而地球密度为
\begin{equation*} \rho=\frac{M_地}{\frac{4\pi}{3}R^3} \end{equation*}
于是
\begin{equation*} g_{等效}=\frac{GM(r)}{r^2}=\frac{G}{r^2}\left (\rho\frac{4\pi}{3}r^3\right )=\frac{GM_地}{R^2}\frac{r}{R}=g\frac{r}{R} \end{equation*}
地球内部某一点处的你的重力与该点到地心的半径成正比。
地表处重力为$mg$，下落到地球半径一半处，重力为$mg/2$，下落到地心处，重力为0
取$r$的正方向为从地心指向地球外部，则当你下落到距离地心$r$处时受力为
\begin{equation*} F=-mg\frac{r}{R}=-kr \end{equation*}
与拴在弹簧上的物体所受的力的形式是一样的。于是可知，跳入地球的你将做简谐振动，振动的周期为
\begin{equation*} \begin{split} T=&2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{m}{mg/R}}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} \\ =&2\pi\sqrt{\frac{6.378\times 10^6}{9.8}}\mathrm s=5068\mathrm s=84.5 \mathrm {min} \end{split} \end{equation*}
即大约42分钟后你跑到地球另一端，但是注意，从另一端钻出来的时候一定要扒住洞口，否则会返回来。没扒住，也不用着急，你会在洞里往复运动，每84.5分钟就有一次扒住洞口的机会。
不过，等你到达洞的另一端，可能没有机会扒洞口，因为你在洞里早挂了。在洞口你相对地心有个水平方向的速度，这个速度高达$465\mathrm {m/s}=1674\mathrm {km/h}$，比飞机速度还要大，以这个速度与洞壁碰撞，能不挂吗？所以，还是离洞远一点吧。
Youtube上的一则视频更生动具体地讨论了这个问题：