耶鲁基础物理3.2牛顿第二定律



牛顿第二定律表述为:设一个物体具有加速度$\boldsymbol a$,那么,使物体具有此加速度的力为:

$$ \boldsymbol F=m\boldsymbol a \label{3.1}\tag{3.1} $$

在本章,我们只处理一维运动,所以可将上式写为:

$$ F=m a \label{3.2}\tag{3.2} $$

式中,$F$和$a$均沿$x$轴。

简单说说单位。质量单位为千克或$\mathrm{kg}$,加速度单位为$\mathrm{m\cdot s^{-2}}$,所以力的单位为$\mathrm{kgm\cdot s^{-2}}$,太长了,我们将之称为牛顿,以符号$\mathrm{N}$,以纪念牛顿。如果力学是你发明的,就会以你的名字命名力的单位,但是,现在对你来说,太晚了。

首次遇到牛顿定律,你遇到的典型问题是这样的,质量为$4\mathrm{kg}$的物体受到大小为$36\mathrm{N}$的力的作用,加速度多大?你用36除以4,得答案$a=9\mathrm{m\cdot s^{-2}}$。于是,你说:“好的,我知道牛顿定律了。”

实际上,事情要复杂得多。设想一下,你穿越到17世纪,你对力有直觉性定义:推或拉一个物体,我们就说物体受到了力。突然间,你悟到了$F=ma$这个定律。你会觉得明晰起来了吗?你能用这个定律解决问题吗?你能做出预言吗?甚至,你能判断它是不是对吗?

这里有个运动的物体,牛顿定律适用于它吗?我们如何进行验证?

测量出方程左边的值,再测量出方程右边的值,两边相等,你可以说,定律成立。该怎么测量呢?

从加速度开始,如何测量加速度?需要什么仪器?

需要尺和钟。如何做呢?具体方案是什么?

首先,使物体运动一小段距离,用距离除以所用时间,得到速度。再让物体运动一小段距离,再得到一个速度。用两个速度之差除以时间之差,就得到加速度,当然,得到的是平均加速度。用更短的时间做实验,所得加速度就越接近瞬时加速度,时间间隔趋于零时,就得到瞬时加速度了,即微积分定义的二阶导数。

好,我们会测量加速度了。下一个问题,如何测质量?

你可能觉得很简单,用天平。找些标准质量,和待测物体放在跷跷板两边,跷跷板平衡时,可得待测物体质量。这么做对吗?

不对,如果是在外太空,这个方法肯定不行,土豆和大象放在跷跷板两边也会平衡。

我说这个方法不行,还不是技术原因,而是逻辑原因。跷跷板平衡是因为地球引力,而现在我们还没谈力呢。方程$F=ma$里面没有地球。你通过$m=F/a$来测量$m$,反过来再去验证$F=ma$,就陷入了循环论证的逻辑陷阱。

我给你个提示,如何确定$1\mathrm{m}$有多长?

规定的。实际上,国家标准局曾藏有一根合金棒,它的长度定义为$1\mathrm{m}$。现在当然对$1\mathrm{m}$有更精准的定义了,但是这里我们暂时使用这个简单的定义。我问你$2\mathrm{m}$有多长?用定义$1\mathrm{m}$的合金棒接上它的一根复制品,这就是$2\mathrm{m}$。把复制品任意等分,就可以定义任意长度了。

对于质量也是一样的道理,取一块某种材料,比如一块金属,定义为$1\mathrm{kg}$。现在有若干这个标准质量,如何测量一个物体——比如一头大象——的质量?

不能用跷跷板实验了,那需要用到引力。我们可以用一根弹簧,即便在外太空,弹簧也可以施加力的作用。弹簧该怎么用呢?

将弹簧一端固定在墙上,将弹簧自平衡位置拉伸一定的量,将$1\mathrm{kg}$标准物体挂上去。我们不知道弹簧施加多大的力,但这不重要。释放弹簧,测出$1\mathrm{kg}$标准物体的加速度$a_1$。然后,换上大象(这头大象是质点),它的质量$m_{\mathrm E}$未知。把弹簧拉伸相同的量,这样,弹簧就施加与刚才相同的力。测量出大象的加速度$a_{\mathrm E}$。对于以上两种情况,只要假设这根弹簧伸长相同的量就会产生相同的力,我们就可以得到:

$$ 1\cdot a_1=m_{\mathrm E} a_{\mathrm E} \label{3.3}\tag{3.3} $$

$$ m_{\mathrm E}=1\cdot \frac{a_1}{a_{\mathrm E}} \label{3.4}\tag{3.4} $$

一旦有了大象的质量,就可以用下式测量其他任意物体的质量m0:

$$ m_0=m_{\mathrm E} \cdot \frac{a_{\mathrm E}}{a_0} \label{3.5}\tag{3.5} $$

式中$a_{\mathrm E}$和$a_0$为相同作用力下的加速度。

即使在这里,也有些值得思考的微妙之处。例如,换上大象之后,如何知道弹簧两次被拉伸,对外施加的力相同?毕竟,弹簧是会疲劳的,正因如此,汽车才需要换减震器。因此,我们首先要确定,弹簧伸长量相同,作用力就相同。如何检验这一点呢?我们还没有对力进行定义呢。

可以这样做。弹簧挂上$1\mathrm{kg}$标准物体,拉伸一定量,释放,记录物体加速度。再次拉伸同样的量,释放 ,记录物体加速度,如此做多次实验,比如10次,如果每次所测得加速度都是相同的,我们就确信弹簧性能可靠,它在相同条件下产生的力相同。第11次拉伸弹簧同样的量,但这次换上大象,我们有把握说,大象和前10次的$1\mathrm{kg}$标准物体所受的力是相同的。

以上讨论罗里吧嗦,有意义吗?

有重要意义。这里要表达的意思是,书上用符号写的这些量都是可以测量的。你应该时时刻刻明确这一点,科学理论或计算中所用的量如何测量,否则,你只是在做数学题或是玩符号游戏,不是在研究科学。

以上讨论我们还明白一点,物体的质量与引力毫无关系,而与它受力之后有多“不情愿”被加速有关系。牛顿告诉你,力引起了加速度。对于给定的力,不同物体的加速度是不同的。某些物体对力的抵抗要强一些,我们说这些物体的质量更大。

如何精确地表明质量有多大?

对于给定的力,如果一个物体的加速度是$1\mathrm{kg}$物体的加速度的1/10,则它的质量是$10\mathrm{kg}$。

标签: 牛顿第二定律, 质量

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