耶鲁基础物理3.3第二定律的两个应用



我们回到弹簧。若伸长量为$x$,弹簧所施加的力$F(x)$有多大?这里x是相对于弹簧既不被压缩也不被拉伸的那个点测量出来的。如果$x$是正值,说明弹簧被拉伸,如果$x$是负值,说明弹簧被压缩。对于任何给定的$x$,可以测量出力$F(x)$对质量为$m$的物体的加速度,根据$F=ma$,可测量出相应的 $F(x)$。改变弹簧的伸长量,测量出一系列$F(x)$,可画出相应的曲线。当$x$比较小时,这条曲线将是斜率为$-k$的直线,即

\begin{equation} F=-kx \label{3.6}\tag{3.6} \end{equation}

其中,$k$叫做弹簧的劲度系数。负号是什么意思?

负号表明,如果向右拉伸弹簧,$x>0$,$F(x)<0$,表示弹簧所施加的力将向左,如果向左压缩弹簧,$x<0$,$F(x)>0$,弹簧所施加的力将向右。



图3.1 (左图)劲度系数为$k$的弹簧(虚线)一端系有质量为$m$的物体,另一端固定在墙上,物体的位移$x$是相对弹簧的平衡位置测量的。(右图)力$F(x)$随$x$变化的函数关系。

两个方程,$F=ma$和$F=-kx$,第一个表示牛顿定律,第二个表示什么?两个方程有何区别?

$F=ma$是普适的,无论作用在物体上的是什么力,而$F=-kx$只适用于弹簧。

我们下面具体解释一下。

牛顿力学的应用包括两部分。

第一部分,已知力,求加速度。力是起因,加速度是效果,而牛顿第二定律$\boldsymbol F=m\boldsymbol a$是二者之间的精确关系。

第二部分,通过实验给出的加速度求力。例如通过实验确定出弹簧的力的规律$F=-kx$,牛顿没有告诉我们这个结果。除了万有引力之外,牛顿从未说出在某个给定的情境下,力是什么样的,具体的力要专门做实验确定。两个电荷之间的作用力,通过实验发现,按$1/r^2$(电荷间距$r$)的规律变化。实验发现,核力,例如质子与中子间的作用力,随距离按指数衰减。牛顿确实没告诉我们这些。一旦我们通过实验得到新的作用力,并假定经典力学是适用的,那么我们就可以利用牛顿定律得到这个力对物体产生的加速度了。

确定力的规律有两种方法。一种方法是令其与已知力平衡,另一种方法是测量物体加速度。

比如测量静电作用力 。可以把两个带电物体连在弹簧两端,由弹簧长度的改变量可得静电作用力。也可以使两个电荷由静止释放,测量加速度,由$ma$得力。

物理学家既忙于由$F$求$a$(例如,已知万有引力计算卫星轨道),也忙于由$a$求$F$(例如,拉伸弹簧求$k$,测量苹果掉落时所受重力。)。

现在我们稍微跑一下题,说说重力。

地面附近的物体,受到地球施加的重力,$F=-mg$,$g=9.8ms^{-2}$。怎么测量?

可以从塔上释放物体,测量加速度$a$,实验发现,对于所有物体来说,加速度

\begin{equation} a=\frac{-mg}{m}=-g \label{3.7}\tag{3.7} \end{equation}

这个结果非常显著,显著在哪里?

重力加速度与质量无关!其他的力没有此性质,力除以质量得加速度,应该与质量$m$成反比但是,万有引力、重力不一样,它们与质量成正比,求加速度时,除以质量,质量便被消掉了。地球表面附近的所有物体都以相同的加速度下落。实际上,各处的引力都具有此特点,在外太空也是如此。任何东西——金子、银子、粒子、大象——一切物体都以同样的方式被加速。这个显著的事实在很久以前就为人所知晓,但是,只有爱因斯坦想到问,为什么自然界会有这样的行为?为什么物体的两种质量会相等?

物体有两种质量。一种是惯性质量,它表示物体对速度变化的抵抗能力,出现在$F=ma$中,物体 即使远离所有天体,远离任何其他物体,也可以测量出这个质量。另一种质量是引力质量,量度的是某物体受到地球或其他物体的吸引力有多大。没有理由表明这两个属性必须相等。这仅仅是一种巧合还是某个大图景的一部分?

这是广义相对论的大图景的一部分。爱因斯坦是这样描述引力的。设想有一条河,孩子们将各种树叶或纸船放入其中,这些东西都将沿着河水的流线运动。所有物体的路径都是注定的。引力对于时空就是如此。它规定好了物体的轨道,你释放的任何物体都将沿着那条在时空中雕琢好的轨道运动。如果你抵抗这种“漂流”,就好比一个孩子抓住纸船不放,那么,你感受到的阻力就是这个物体受到的引力。流线的形状由什么决定呢?爱因斯坦说,由宇宙中的物质和能量所决定。

回归正题。我们举个例子,看个完整的牛顿问题。

物体被系在弹簧的一端,将它拉开$x$后释放,它会怎样运动?

牛顿说,$F=ma$,有

\begin{equation} m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}=-kx \label{3.8}\tag{3.8} \end{equation}

还需要知道$m$和$k$,我已经讨论过如何测量它们。下面就是数学问题了,解方程\eqref{3.8},求得$x(t)$,然后就了解物体的运动了。数学上可以证明,物体将在平衡位置左右做往复运动。



图3.2 行星相对太阳的位置矢量为$\boldsymbol r$。太阳对行星的作用力$\boldsymbol F$与$\boldsymbol r$方向相反,大小按$1/r^2$的规律变化。(为清晰起见,$\boldsymbol F$与$\boldsymbol r$稍微画偏离了一些。)

再举一个例子。如何得到行星的运行轨道?如图3.2,一个行星绕太阳运动,牛顿发现了万有引力的形式,与两个物体的质量乘积成正比,与两个物体的距离的平方成反比,应用$F=ma$,可得行星轨道。数学结果表明,行星轨道是椭圆。

标签: 牛顿第二定律

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