耶鲁基础物理2.7 抛体运动



考虑这样一个运动,质点在$t=0$时刻的位置矢量和速度分别为$\boldsymbol r_0$和$\boldsymbol v_0$,加速度$\boldsymbol a$为常矢量。求质点的运动学方程。

与一维情况类似,运动学方程为:

\begin{equation} \boldsymbol r(t)=\boldsymbol r_0+\boldsymbol v_0 t+\frac{1}{2}\boldsymbol a t^2 \label{2.59}\tag{2.59} \end{equation}

一旦知道$\boldsymbol r_0$和$\boldsymbol v_0$,就可以知道质点在任意时刻的位置了。举个简单的例子,有人开车冲下悬崖,我们可以知道汽车何时在何点落地。



图2.8 (a)汽车在$(0,h)$点飞出,在$(d,0)$点落地。(b)抛体被抛出的初速度为$\boldsymbol v_0=(\boldsymbol i+\sqrt{3}\boldsymbol j)\mathrm{m/s}$,射程为$R=0.35\mathrm m$,到达的最大高度为$y_{\mathrm{max}}=0.15\mathrm m。$

如图2.8所示,在悬崖正下方地面处为坐标原点,建立坐标系。设悬崖高度为$h$,汽车在水平方向的初速率为$v_{0x}$。在此坐标系中,加速度、初速度、初始位置分别为:$\boldsymbol a=-g\boldsymbol j$、$\boldsymbol v_0=v_{0x}\boldsymbol i$、$\boldsymbol r_0=h$

\eqref{2.59}式其实是两个方程,一个沿x方向,一个沿y方向:

\begin{equation} x(t)=0+v_{0x}t+0 \label{2.60}\tag{2.60} \end{equation}

\begin{equation} y(t)=h+0-\frac{1}{2}gt^2 \label{2.61}\tag{2.61} \end{equation}

注意,这两个方向的坐标是完全无关的。

汽车撞击地面时,$y=0$,代入\eqref{2.61}式,得汽车落地时刻$t^*$满足的方程:

\begin{equation} 0=h+0-\frac{1}{2}gt^{* 2} \label{2.62}\tag{2.62} \end{equation}

解得

\begin{equation} t^{* }=\sqrt{\frac{2h}{g}} \label{2.63}\tag{2.63} \end{equation}

这也是汽车从悬崖静止降落到地面所需的时间。可见,水平方向的速度一点也没延迟它与地面的撞击(除非你考虑地球的曲率)。

汽车着陆地点由$(x(t^*),0)=(d,0)$给出,为:

\begin{equation} d=v_{0x}t^{* }=v_{0x}\sqrt{\frac{2h}{g}} \label{2.64}\tag{2.64} \end{equation}

下面讨论更一般情形的抛体运动,初速度$v_0$不是沿水平方向,而是相对水平方向有个夹角$\theta$,质点运动过程是怎么样的?

向前飞行的时候同时先上升后下降。

质点将落在何处?最大上升多大高度?落地时速率多少?要使它飞得最远,发射角应多大?

这些问题的答案都隐藏在方程\eqref{2.59}中,将其写为分量形式:

\begin{equation} x(t)=0+v_{0x}t=v_0\cos\theta t \label{2.65}\tag{2.65} \end{equation}

\begin{equation} y(t)=0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2=v_0\sin\theta t-\frac{1}{2}gt^2 \label{2.66}\tag{2.66} \end{equation}

然后,你就可以解方程了。

解方程之前,我们说说,斜抛运动对应什么真实问题。

比如发射炮弹。炮弹打出去的速率是恒定的,但是可以调整发射角度,怎样能让炮弹打得最远?

有两种观点。第一种观点认为,瞄准敌人水平发射。另一种观点认为,竖直发射,让炮弹多飞一会儿。

以上两种观点,各得到什么结果?

第一种观点,炮弹会落在自己脚下,因为飞行时间是零(假设炮的高度是零)。

第二种观点,炮弹会砸在自己头上。

由以上两种极限情况可看出,最佳发射角度在0°到90°之间。具体是多少呢?

直觉上是45°。能在数学上证明出来吗?

可以证明。下面进行证明。

射程是水平方向速度$v_

炮弹飞行到最后落在地面上,$y=0$,由\eqref{2.66}式得,方程

\begin{equation} 0=v_0\sin\theta t^{* }-\frac{1}{2}gt^{* 2} \label{2.67}\tag{2.67} \end{equation}

此方程有两个解:

\begin{equation} t^{* }=0或t^{* }=\frac{2v_0\sin\theta}{g} \label{2.68}\tag{2.68} \end{equation}

这个结果说明什么?

说明炮弹有两个位于地面上的时刻。一次是发射时,$t^{* }=0$,我们对这个平凡不感兴趣,感兴趣的是落地时刻,

\begin{equation} t^{* }=\frac{2v_0\sin\theta}{g} \label{2.69}\tag{2.69} \end{equation}

于是,炮弹射程为:

\begin{equation} R=v_{0x}t^{* }=v_0\cos\theta t^{* }=\frac{2v_0^2\cos\theta \sin\theta}{g}=\frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} \label{2.70}\tag{2.70} \end{equation}

射程最大,即$\sin2\theta$最大,所以$\theta=\pi/4$。

如何得到炮弹飞行的最大高度?

炮弹达到最大高度时,用了总飞行时间的一半,$\frac{t^{* }}{2}=\frac{v_

\begin{equation} \begin{split} y_{\mathrm{max}}=&0+v_{0y}\left(\frac{t^{* }}{2}\right)-\frac{1}{2}g\left(\frac{t^{* }}{2}\right)^2\\ =&v_0\sin\theta \frac{v_0\sin\theta}{g}-\frac{1}{2}g\left(\frac{v_0\sin\theta}{g}\right)^2\\ =&\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} \end{split} \label{2.71}\tag{2.71} \end{equation}

总飞行时间的一半$\frac{t^{* }}{2}$也可由竖直方向速度为零求得:

\begin{equation} 0=v_0\sin\theta-g\frac{t^{* }}{2} \label{2.72}\tag{2.72} \end{equation}

炮弹以何速度落地?

水平方向速度一直保持为$v_

\begin{equation} v_y=v_0\sin\theta-gt \label{2.73}\tag{2.73} \end{equation}

代入$t^*$,得落地时竖直方向速度:

\begin{equation} v_y(t^{* })=v_0\sin\theta-g\frac{2v_0\sin\theta}{g} \label{2.74}\tag{2.74} \end{equation}

正是初始竖直方向速度的相反数,因此末速度与初速度的大小相同。

还可以提出其他问题,比如,让抛体打到点$(X,Y)$,已知发射角,如何求发射速率?

抛体不必是炮弹,也可能是猴子,学生物的人会说:“嘿,我应该学学物理学,好像我用得上。”所有跳跃的猴子都很有趣,颜色也超棒。但是,生物学家却被告知“要把猴子当做质点。”立马崩溃。

顺便提一下,别忘了把图2.8中的汽车看做质点。

标签: 抛体运动

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