耶鲁基础物理2.4坐标轴的选择与基矢



有一个矢量,它的分量分别为3和5,你能表示出这个矢量吗?

你会马上给出答案:$3\boldsymbol i+5\boldsymbol j$。

你给出这个答案的时候,你已经隐含着一个假设,我会沿水平和竖直方向分别建立$x$、$y$轴,并定义沿坐标轴方向的单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$,用以表示矢量。这是挺自然的事情。可是,就不能建立一套新的坐标轴吗?

当然可以。坐标轴都是人为建立的,我们没有与哪一套坐标轴绑定在一起。

通常,我们是根据解决问题的便利程度来建立坐标系的。

比如,你研究地面上发射的炮弹,分别沿水平和竖直方向建立$x$、$y$轴是很自然的选择。但是,不是说非得这样建立坐标系。将坐标系旋转一下,得新的坐标轴$x'$、$y'$,对应新的单位矢量$\boldsymbol i'$和$\boldsymbol j'$。当研究沿斜面下滑的物体时,我们会选取分别与斜面平行和垂直的坐标轴。

现在,我画一个箭头$\mathbf A$,表示一个矢量,不涉及任何坐标系,它可以用基底$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$表示,分量为$(A_x,A_y)$,也可以用基底$\boldsymbol i'$和$\boldsymbol j'$表示,分量为$(A_x',A_y')$。有什么关系呢?

看图2.4。将$x$、$y$轴逆时针转$\phi$角,得到坐标轴$x'$、$y'$。同样,原来的单位矢量$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$旋转后得到新的单位矢量$\boldsymbol i'$和$\boldsymbol j'$。以虚线表示矢量A在各基底上的分量,即矢量A在各坐标轴上的投影。我们想要得到$(A_x,A_y)$与$(A_x',A_y')$之间的关系。



同一个矢量,不同的坐标系。虚线为矢量在两个坐标系中的分量。

由图2.4,我们先用$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$表示出$\boldsymbol i'$和$\boldsymbol j'$:

\begin{equation} \boldsymbol i'= \cos\phi\boldsymbol i+\sin\phi\boldsymbol j \label{2.16}\tag{2.16} \end{equation}

\begin{equation} \boldsymbol j'= -\sin\phi\boldsymbol i+\cos\phi\boldsymbol j \label{2.17}\tag{2.17} \end{equation}

代入$\boldsymbol A=A_x'\boldsymbol i'+A_y'\boldsymbol j'$,消去这个式子中的$\boldsymbol i'$和$\boldsymbol j'$,便得到$\boldsymbol A$的$\boldsymbol i$和$\boldsymbol j$表示:

\begin{align} \boldsymbol A=&A_x'\boldsymbol i'+A_y'\boldsymbol j' \tag{2.18} \\ =&A_x'(\cos\phi\boldsymbol i+\sin\phi\boldsymbol j)+A_y'(-\sin\phi\boldsymbol i+\cos\phi\boldsymbol j) \tag{2.19} \\ =& (A_x'\cos\phi-A_y'\sin\phi)\boldsymbol i+(A_x'\sin\phi+A_y'\cos\phi)\boldsymbol j \tag{2.20}\\ =&A_x\boldsymbol i+A_y\boldsymbol j \tag{2.21} \end{align}

我们便得到$(A_x,A_y)$与$(A_x',A_y')$之间的关系:

\begin{align} A_x=&A_x'\cos\phi-A_y'\sin\phi \tag{2.22}\\ A_y=&A_x'\sin\phi+A_y'\cos\phi \tag{2.23} \end{align}

所以,我们可以按照自己的喜好随意地建立坐标系。矢量独立于坐标系而存在,用不同的表示。(2.22)和(2.23)式为矢量分量在旋转基地下的变换法则

一个问题,如何得到逆变换,即用$(A_x,A_y)$表示出$(A_x',A_y')$?

最快速的方法是用$-\phi$代替$\phi$。我们由不带撇的坐标系旋转$\phi$角得到带撇的坐标系,那么,带撇的坐标系旋转$-\phi$角得到不带撇的坐标系,结果为:

\begin{align} A_x'=&A_x\cos\phi+A_y\sin\phi \tag{2.24}\\ A_y'=&-A_x\sin\phi+A_y\cos\phi \tag{2.25} \end{align}

还有另外一种方法。你能想到吗?

提示,有这样一个二元一次方程组:

\begin{align} 3x+5y=&21 \tag{2.26}\\ 4x+6y=&26 \tag{2.27} \end{align}

你会解吗?

第一个方程两边乘以6,第二个方程两边乘以5,两方程相减,消去$y$,解出$x$。类似方法,可解出$y$。

再看(2.22)和(2.23)式,求出其逆变换,其实这与解二元一次方程组是同一类问题,你有没有意识到?

(2.22)式两边乘以$\cos \phi$,(2.23)式两边乘以$\sin \phi$,然后相加,便可求出$A_x'$,同理求出$A_y'$。$\phi$取定某一值,$\cos \phi$和$\sin \phi$不过是一些数值。例如,令$\phi=\pi/3$,则$\cos \phi=1/2$,$\sin \phi=\sqrt{3}/2$,(2.22)和(2.23)式变为

\begin{align} A_x=&\frac{1}{2}A_x' - \frac{\sqrt{3}}{2}A_y'\sin \tag{2.28}\\ A_y=&\frac{\sqrt{3}}{2}A_x' + \frac{1}{2}A_y' \tag{2.29} \end{align}

将(2.29)式乘以$\sqrt{3}$并与(2.28)式相加,可得

\begin{equation} A_x+\sqrt{3}A_y=2A_x' \label{2.30}\tag{2.30} \end{equation}

这意味着

\begin{align} A_x'=&\frac{1}{2}A_x+\frac{\sqrt{3}}{2}A_y \tag{2.31}\\ =&A_x\cos\frac{\pi}{3}+A_y\sin\frac{\pi}{3} \tag{2.32} \end{align}

与(2.24)式相符。

更进一步,不给$\phi$指定特定值,将$\cos \phi$和$\sin \phi$看做普通数值,由(2.22)和(2.23)式做变换,可得到(2.24)和(2.25)式。当然,中间过程中要用到恒等式 $\cos^2 \phi+\sin^2 \phi=1$。

矢量分量的值依赖于坐标系(对应于现实世界中的观察者)。但有一个量却是恒定的,与坐标系(也即观察者)无关。你看出是哪个量吗?

矢量的长度,由(2.24)和(2.25)式可以证明:

\begin{align} A_x'^2+A_y'^2=&(A_x\cos\phi+A_y\sin\phi)^2+(-A_x\sin\phi+A_y\cos\phi)^2 \tag{2.33}\\ =& A_x^2(\cos^2 \phi+\sin^2)+A_y^2(\cos^2 \phi+\sin^2)\tag{2.34}\\ =& A_x^2 +A_y^2 \tag{2.35} \end{align}

矢量的长度与坐标轴的旋转无关,是旋转操作下的不变量。

矢量是具有大小和方向的量,在旋转坐标轴操作下,按(2.24)和(2.25)式进行变换。任何以这种方式变换的量都称为矢量,我们已接触过位置矢量$\boldsymbol r$和它的增量 ——位移(远足的实例中用过)。

如果已知一个矢量,例如位置矢量,有很好的方法接着生成矢量,请看下节内容。

标签: 矢量

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