耶鲁基础物理1.3运动的平均量和瞬时量



我们来研究这样的物体,从数学上看,它是一个点,没有大小。你把它转动一下,看起来还是一样的。不像土豆,把土豆转一下,看上去会不同。对于土豆,只描述它的位置是不够的,还要给出它的朝向。对于土豆这样的物体,我们后面研究“刚体”的时候再讨论。现在,我们只研究无需考虑空间体积的物体,即一个点,这个点可以在整个空间运动,物理上称为质点,即有质量的点。我们考虑最简单的情况,这个点只沿一条直线运动,设这条直线为$x$轴。

你可以想象一个珠子穿在一条线上,它只能前后移动。这应该就是最简单的运动了。

如何表示这个点在初始时刻的信息?

先刻画这个点的位置。

在$x$轴上先选择一个原点,记作$x=0$,在x轴上标记好坐标,用坐标可刻画位置,比如某质点可位于$x=1, 2, 3, 4, 5$处。当然,还得带上单位。

在运动学中,这些信息就够了。

我们再看这个质点,在给定的时刻,它有个空间位置。我们可以用位置-时间图来描述它的运动。图1.1就是一个典型的图,尽管曲线既有上升又有下降,但是不表示物体在上上下下地运动,物体其实沿着x轴来来回回地运动。能看出来吧?



图1.1 质点的位置-时间图像

物体走过图1.1中A点,表示的是物体沿着从左到右的方向通过原点,稍后至B点,物体又沿向左的方向回到原点。

我们下面用微积分的语言讨论位置-时间曲线。位置$x$是时间$t$的函数,$x=x(t)$,也称为运动学方程

定义物体的平均速度:

\begin{equation} \bar{v}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1} \label{1.1}\tag{1.1} \end{equation}

其中,$t_1$和$t_2$ 是我们选择的一段时间间隔的初末两个时刻,$t_1<t_2$ 。在图1.1中,$x(t_2)<x(t_1)$,所以,这段时间间隔的的平均速度$\bar{v}<0$。

类似的,可定义平均加速度:

\begin{equation} \bar{a}=\frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1} \label{1.2}\tag{1.2} \end{equation}

有了平均速度,你不一定能了解物体运动的全部。例如,你在时刻从处运动到C点,纵坐标值与初态相同,那么平均速度为零。如果一个质点一直保持静止,平均速度也是零。两种情况下的平均速度是相同的!

平均量不能给出足够的细节。

细节在瞬时量。比如瞬时速度$v(t)$,即$t$时刻的速度。请看图1.1,质点在$t$到$t+\Delta t$时间间隔内移动的位移为$\Delta x$,平均速度为$\Delta x/\Delta t$。而你想知道的是$t$时刻的速度。对于速度,我们都有一种基于直觉的概念。当你驾车时,仪表盘显示$60\mathrm{km/h}$,那就是你此时的速度。瞬时速度我们可以这样计算,取质点在此刻和在稍后某时刻的两个位置,用位置之差,即位移,比上对应的时间间隔,再令时间间隔$\Delta t$越来越小,一直小到接近于零,我们得到极限,这就是瞬时速度$v(t)$:

\begin{equation} v(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} \label{1.3}\tag{1.3} \end{equation}

这正是微积分的核心思想。

有了一次导数,就可以求更高阶的导数,对速度求导,即对位置求二阶导,得瞬时加速度:

\begin{equation} a(t)=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2} \label{1.4}\tag{1.4} \end{equation}

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