线性阻力下斜抛运动的最佳抛射角小于$\pi/4$



质点在$xOy$平面内做斜抛运动,初速度为$v$,抛射角为$\theta$,空气阻力与速度成正比,比例系数为$k$(被质点质量约化之后)。数值计算表面,最优抛射角小于$\pi/4$。下面给出严格证明。

动力学方程

\begin{equation} \begin{split} \ddot{x}=&-k\dot{x}\\ \ddot{y}=&-g-k\dot{y} \\ \dot{x}(0)=&v\cos\theta, \quad x(0)=0 \\ \dot{y}(0)=&v\sin\theta, \quad y(0)=0 \end{split} \label{dynamics} \end{equation}

解得运动学方程

\begin{equation} \begin{split} x(t)=& \frac{v\cos\theta}{k}(1-e^{-kt}) \\ y(t)=& \left(\frac{v\sin\theta}{k}+\frac{g}{k^2}\right)(1-e^{-kt})-\frac{gt}{k} \end{split} \label{motion} \end{equation}

消去$t$,得轨迹

\begin{equation} y=\left(\frac{g}{kv\cos\theta}+\tan\theta \right)x+\frac{g}{k^2}\ln\left( 1-\frac{kx}{v\cos\theta}\right) \label{trajectory} \end{equation}

令$y=0$,解出射程$x=R(\theta)$,

\begin{equation*} \begin{split} & \left(\frac{g}{kv\cos\theta}+\tan\theta \right)R+\frac{g}{k^2}\ln\left( 1-\frac{kR}{v\cos\theta}\right)=0 \\ & \ln\left( 1-\frac{kR}{v\cos\theta}\right)=-\left(\frac{k}{v\cos\theta}+\frac{k^2}{g}\tan\theta \right)R \\ & 1-\frac{kR}{v\cos\theta} = e^{-\left(\frac{k}{v\cos\theta}+\frac{k^2}{g}\tan\theta \right)R} \\ & R = \frac{v\cos\theta}{k}\left(1-e^{-\left(\frac{k}{v\cos\theta}+\frac{k^2}{g}\tan\theta \right)R} \right ) \\ & R = \frac{\cos\theta}{a}\left(1-e^{-\left(a\sec\theta+b\tan\theta \right)R} \right ) \end{split} \end{equation*}

射程与抛射角满足如下关系:

\begin{equation} R(\theta) = \frac{\cos\theta}{a}\left(1-e^{-A(\theta)R(\theta)} \right ) \label{range} \end{equation}

其中,$A(\theta)=a\sec\theta+b\tan\theta$,$a=\frac{k}{v}$,$b=\frac{k^2}{g}$。

由$\frac{dR(\theta)}{d\theta}=0$,可求得最优抛射角$\theta^*$,

\begin{equation} -\frac{\sin\theta^*}{a}\left(1-e^{-A(\theta^*)R(\theta^*)} \right )+\frac{a\tan\theta^*+b\sec\theta^*}{a}e^{-A(\theta^*)R(\theta^*)}R(\theta^*)=0 \label{thetaOP1} \end{equation}

将\eqref{range}式代入上式并整理得

\begin{equation} \sin\theta^*=(\sin\theta^*+b/a)e^{-A(\theta^*)R(\theta^*)}=(\sin\theta^*+c)e^{-A(\theta^*)R(\theta^*)} \label{thetaOP2} \end{equation}

其中$c=b/a=kv/g$。

由\eqref{range}式,得$e^{-A(\theta)R(\theta)}=1-a\sec\theta R(\theta)$,代入上式,得

\begin{equation} R(\theta^*)=\frac{\cos\theta^*(c/a)}{\sin\theta^*+c} \label{thetaOP3} \end{equation}

上式两边同乘以$A(\theta^{*})=a\sec\theta^{*}+b\tan\theta^{*}$,得

\begin{equation} A(\theta^*)R(\theta^*)=\frac{c+c^2\sin\theta^*}{\sin\theta^*+c} \label{ARthetaOP} \end{equation}

将此式代入\eqref{thetaOP2}式,得

\begin{equation} \sin\theta^*=(\sin\theta^*+c)e^{-\frac{c+c^2\sin\theta^*}{\sin\theta^*+c}} \label{thetaOP4} \end{equation}

令$s=\sin\theta^*$,上式变为

\begin{equation} \begin{split} & \frac{s}{s+c}=e^{-\frac{c^2s+c}{s+c}} \\ & \frac{s+c}{s}=e^{\frac{c^2s+c}{s+c}} \\ & 1+u=e^{\frac{c^2+u}{1+u}} \end{split} \label{thetaOP5} \end{equation}

其中已令$u=c/s$,上式可化为

\begin{equation} c^2=-u+(1+u)\ln(1+u) \label{thetaOP6} \end{equation}

两边求导,得

\begin{equation} 2c=\ln(1+u)\frac{du}{dc} \label{dthetaOP6} \end{equation}

可见$u(c)$是$c$的单调增函数,结合\eqref{thetaOP6}式,$c=0$时,$u=0$,又$c\ge 0$,所以$u\ge 0$。

下面计算$\frac{ds}{dc}$,又$s=c/u$,有

\begin{equation} \begin{split} \frac{ds}{dc}=&\frac{1}{u}-\frac{c}{u^2}\frac{du}{dc}\\ =&\frac{1}{u}-\frac{2c^2}{u^2\ln(1+u)}\\ =&\frac{1}{u}-\frac{-2u+2(1+u)\ln(1+u)}{u^2\ln(1+u)}\\ =&\frac{2u-(2+u)\ln(1+u)}{u^2\ln(1+u)}\\ =&\frac{f(u)}{u^2\ln(1+u)} \end{split} \label{dsdc} \end{equation}

对$f(u)=2u-(2+u)\ln(1+u)$求导,得

\begin{equation} \begin{split} \frac{df}{du}=& 2- \ln(1+u)-\frac{2+u}{1+u}\\ =& \frac{u-(1+u)\ln(1+u)}{1+u} \\ =&\frac{g(u)}{1+u} \end{split} \label{dfdu} \end{equation}

对$g(u)=u-(1+u)\ln(1+u)$求导,得

\begin{equation} \frac{dg}{du}=-\ln(1+u)<0 \label{dgdu} \end{equation}

所以,$g(u)$是减函数,$g(u)<g(0)=0$,由\eqref{dfdu}式,$f(u)$是减函数,$f(u)<f(0)=0$,再由\eqref{dsdc}式,知$s(c)$是减函数,$s(c)<s(0)$。

下面我们求$s(0)$。

由$s=c/u$以及\eqref{thetaOP6}式,得,

\begin{equation} s^2=\frac{c^2}{u^2}=\frac{-u+(1+u)\ln(1+u)}{u^2} \label{s2} \end{equation}

\begin{equation} \begin{split} s^2(0)=&\lim_{u\to 0}\frac{-u+(1+u)\ln(1+u)}{u^2}\\ =&\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{2u}=\lim_{u\to 0}\frac{1}{2(1+u)}=\frac{1}{2} \end{split} \label{s2lopital} \end{equation}

即$s(0)=1/\sqrt{2}$,$s(c)=\sin\theta^* \le 1/\sqrt{2} $,所以,$\theta^*\le \pi/4$。

至此,我们证明了,有线性阻力时,最优抛射角小于$\pi/4$。

标签: 抛体运动

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