喷水机的喷嘴上孔的密度分布



草坪喷水机的喷嘴为一球冠,如上图所示,要均匀喷水,求喷嘴上喷孔随喷水角度的密度分布。

这是芝加哥大学的博士资格考试题。

设喷水速度为$v_0$。喷水角度为$\alpha$时,水射程$R=\frac{v_0^2}{g}\sin 2\alpha$,喷角有微小变化$d\alpha$,则射程变化为$dR=2\frac{v_0^2}{g}\cos 2\alpha d\alpha$。角度$\alpha$和$\alpha+d\alpha$范围之内的喷口喷出的水量$\rho(\alpha)\sin \alpha d\alpha$,这些水落在内外径为$R$和$R+dR$的圆环内,水量为$cRdR$,其中$c$为常数。于是$\rho(\alpha)\sin \alpha d\alpha=cRdR\propto \sin 4\alpha d\alpha$,于是,得喷孔密度为

\begin{equation*} \rho(\alpha)\propto \frac{\sin 4\alpha}{\sin \alpha},\quad \alpha \lt \alpha_0 \end{equation*}

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