考虑空气阻力的斜抛运动的收尾速度和最低速度

质点做斜抛运动,质量为$m$,初速度$v_0$与水平方向夹角$\theta_0$。考虑空气阻力,$f=-kv$。

下面解一下质点的速率。

牛顿第二定律

\begin{equation} -kv_x=m\frac{dv_x}{dt} \label{fmax} \end{equation}

\begin{equation} -mg-kv_x=m\frac{dv_y}{dt} \label{fmay} \end{equation}

解得

\begin{equation} v_x=v_0\cos\theta_0 e^{-\frac{k}{m}t} \label{vx} \end{equation}

\begin{equation} v_y=\left(\frac{mg}{k}+v_0\sin\theta_0\right ) e^{-\frac{k}{m}t}-\frac{mg}{k}=w_y-\frac{mg}{k} \label{vy} \end{equation}

\begin{equation} v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \label{v} \end{equation}

当$t\rightarrow \infty$时,得收尾速度

\begin{equation} v_t=\frac{mg}{k} \label{vt} \end{equation}

下面解一下质点的最小速度。

\begin{equation} \begin{split} \frac{dv}{dt}=&\frac{v_x\frac{dv_x}{dt}+v_y\frac{dv_y}{dt}}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}}\\ =&\frac{-v^2_x\frac{k}{m}-v_yw_y\frac{k}{m}}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}}\\ =&-\frac{\frac{k}{m}}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}}(v^2_x+v_yw_y)\\ =&0 \end{split} \label{dvdt} \end{equation}

由上式得

\begin{equation*} \begin{split} &v^2_x+v_yw_y=\\ &v^2_0\cos^2\theta_0 e^{-\frac{2k}{m}t}+\left [ \left(v_t+v_0\sin\theta_0\right ) e^{-\frac{k}{m}t}-v_t \right ]\left(v_t+v_0\sin\theta_0\right ) e^{-\frac{k}{m}t}=0 \end{split} \end{equation*}

得质点速度达到最小的时刻为

\begin{equation} e^{-\frac{k}{m}t_{\mathrm {min}}}=\frac{v_t\left(v_t+v_0\sin\theta_0\right )}{v^2_0\cos^2\theta_0+\left(v_t+v_0\sin\theta_0\right )^2} \label{tmin} \end{equation}

代入\eqref{vx}、\eqref{vy}、\eqref{v}式,得最小速度

\begin{equation} v_{\mathrm {min}}=\frac{v_tv_0\cos\theta_0}{\sqrt{v^2_0\cos^2\theta_0+\left(v_t+v_0\sin\theta_0\right )^2}} \label{vmin} \end{equation}

标签: 斜抛运动

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