圆环电流的电流密度



Jackson 的经典电动力学5.5节,用毕奥——萨伐尔定律计算圆环电流的磁场,直接给出了圆环电流的电流密度,电流密度只有$\phi$分量,大小为

\begin{equation} J_{\phi}=I\sin\theta'\delta({\cos\theta'})\frac{\delta(r'-a)}{a} \label{Jphi} \end{equation}

这个式子是如何得到的?

在极坐标中,电流元坐标为$(r',\theta',\phi')$。圆环电流的电流密度只有$\phi$分量,这是显然的,并且容易看出$J_{\phi}$具有如下形式:

\begin{equation} J_{\phi}=\alpha\delta(r'-a) \delta(\theta' -\pi/2) \label{Jphi2bd} \end{equation}

下面求出待定参数$\alpha$。

根据如下关系:

\begin{equation} \begin{split} \iiint JdV' =& \int_0^{\infty} \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi}\alpha \delta(r'-a) \delta(\theta' -\pi/2) r'^2 \sin\theta' dr'd\theta' d\phi' \\ =& \int Idl' =\int_0^{2\pi}Ia d\phi' \end{split} \label{Jnorm} \end{equation}

将上式积分,可得

\begin{equation} \alpha=\frac{I}{a} \label{alpha} \end{equation}

根据复合函数的狄拉克函数的关系

\begin{equation*} \delta[g(x)]=\frac{\delta(x-x_0)}{|g'(x_0)|} \end{equation*}

\begin{equation} \delta(\theta' -\pi/2)=\sin\frac{\pi}{2}\cdot\delta(\cos\theta')=\delta(\cos\theta') \label{theta'} \end{equation}

将\eqref{theta'}、\eqref{alpha}式代入\eqref{Jphi2bd},即得Jackson 的经典电动力学5.5节直接给出的公式\eqref{Jphi}。

标签: 电流密度, 电动力学

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