在可动斜面上做纯滚动的条件

前文我们讨论了小物体在固定斜面上做纯滚动的条件。本文讨论斜面可以在光滑平面上运动的情形。

如上图所示,斜面质量为$M$。斜面加速度为$a_1$,小物体质心加速度为$a_{c}$,相对斜面的质心加速度为$a'_{c}$。斜面和小物体运动有如下关系:

\begin{equation} \vec{a}_c=\vec{a'}_c+\vec{a}_1 \label{relative} \end{equation}

对于斜面,由牛顿第二定律,有

\begin{equation} N\sin\theta-f\cos\theta=Ma_1 \label{oblique} \end{equation}

对于小物体,由质心运动定理,有

\begin{equation} \begin{split} N\sin\theta - f\cos\theta =& m(a_{\mathrm C}'\cos\theta-a_1) \\ mg\sin\theta - f =& m(a_{\mathrm C}'-a_1\cos\theta) \end{split} \label{newtonlaw} \end{equation}

由角动量定理,有,

\begin{equation} fr = I\beta \label{angulartheorem} \end{equation}

小物体要做纯滚动,则要求

\begin{equation} a_{\mathrm C}'=\beta r \label{rotation} \end{equation}

解以上方程得

\begin{equation} a_{\mathrm C}'=\frac{g\sin\theta}{1+\frac{I}{r^2}-\frac{m\cos^2\theta}{M+m}} \label{ac'} \end{equation}

\begin{equation} a_1=\frac{a_{\mathrm C}'\cos\theta}{M+m} \label{a1} \end{equation}

\begin{equation} f=\frac{I}{r^2}\frac{g\sin\theta}{1+\frac{I}{r^2}-\frac{m\cos^2\theta}{M+m}} \label{f} \end{equation}

而滑动摩擦力为

小物体要做纯滚动,静摩擦力要小于滑动摩擦力,$f\le\mu m(g\cos\theta-a_1\sin\theta)$,由\eqref{f}式得纯滚动条件为

\begin{equation} \mu\ge \frac{I}{r^2}\frac{g\sin\theta}{(g\cos\theta-a_1\sin\theta)\left(1+\frac{I}{r^2}-\frac{m\cos^2\theta}{M+m}\right)} \label{murot} \end{equation}

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