OHAM解非线性微分方程基本过程

OHAM 即 The Optimal Homotopy Asymptotic Method,是得到非线性偏微分方程近似解的一种方法。具体见专著:

这里给出此方法的基本过程。

微分方程形式如下:

\begin{equation} L(u(x))+g(x)+N(u(x))=0,\quad B(u,\frac{du}{dx})=0 \label{OHAMeq} \end{equation}

其中$L$为线性算子,$N$为非线性算子,$B$为边界条件算子。

构建如下一族方程:

\begin{equation} \begin{split} &(1-p)[L(\phi(x,p))+g(x)]=H(p)[L(\phi(x,p))+g(x)+N(\phi(x,p))]\\ &B\left(\phi(x,p),\frac{\partial \phi(x,p)}{\partial x}\right)=0 \end{split} \label{OHAMfamily} \end{equation}

其中,$p\in [0,1]$,为嵌入参数,辅助函数$H(p)$,

\begin{equation*} H(p)\begin{cases} &\neq 0, p\neq 0 \\ &=0, p=0 \end{cases} \end{equation*}

辅助函数$H(p)$选为如下形式:

\begin{equation} H(p)=pC_1+p^2C_2+\cdots \label{Hp} \end{equation}

其中$C_1, C_2, \cdots$ 为待定常数。

$\phi(x,p)$为未知函数,显然,$p=0$和$p=1$时分别有

\begin{equation} \phi(x,0)=u_0(x),\quad \phi(x,1)=u(x) \label{p01} \end{equation}

随着$p$从0增长到1,$\phi(x,p)$从$u_0(x)$变化到$u(x)$,$u_0(x)$由如下方程得到:

\begin{equation} \begin{split} &L(u_0(x))+g(x)=0\\ &B\left(u_0(x),\frac{\partial u_0(x)}{\partial x}\right)=0 \end{split} \label{p0eq} \end{equation}

设方程\eqref{OHAMfamily}的解为如下形式:

\begin{equation} \phi(x,p,C_i)=u_0(x)+\sum_{k\ge 1}u_k(x,p,C_i)p^k,\quad i=1, 2, \cdots \label{phixpc} \end{equation}

算符$L$作用到$\phi(x,p,C_i)$,为

\begin{equation} L(\phi(x,p,C_i))=L(u_0(x))+\sum_{m\ge 1}L(u_m)p^m,\quad i=1, 2, \cdots \label{Lseries} \end{equation}

非线性算符$N$作用到$\phi(x,p,C_i)$,展开为关于$p$的幂级数为:

\begin{equation} N(\phi(x,p,C_i))=N_0(u_0(x))+\sum_{m\ge 1}N_m(u_0,u_1,\cdots,u_m)p^m,\quad i=1, 2, \cdots \label{Nseries} \end{equation}

代入方程\eqref{OHAMfamily},由方程$p$的同阶项系数相等,$u_k(x)$满足如下方程:

\begin{equation} \begin{split} &L(u_0(x))+g(x)=0\\ &B\left(u_0(x),\frac{\partial u_0(x)}{\partial x}\right)=0\\ &L(u_1(x))=C_1N_0(u_0(x))\\ &B\left(u_1(x),\frac{\partial u_1(x)}{\partial x}\right)=0\\ &L(u_k(x)-u_{k-1}(x))=C_kN_0(u_0(x))+\sum_{i=1}^{k-1}C_i[L(u_{k-i}(x))+N_{k-i}(u_0,u_1,\cdots,u_{k-i})],\quad k=2, 3,\cdots\\ &B\left(u_k(x),\frac{\partial u_k(x)}{\partial x}\right)=0 \end{split} \label{pkeq} \end{equation}

如果级数\eqref{phixpc}在$p=1$时收敛,有

\begin{equation} u(x,C_i)=u_0(x)+\sum_{k\ge 1}u_k(x,C_i),\quad i=1, 2, \cdots \label{useries} \end{equation}

方程\eqref{OHAMeq}的近似解为

\begin{equation} u^{(m)}(x,C_i)=u_0(x)+\sum_{k\ge 1}u_k(x,C_i),\quad i=1, 2, \cdots, m \label{um} \end{equation}

将将\eqref{um}代入方程\eqref{OHAMeq},得残差为

\begin{equation} R(x,C_i)=L(u^{(m)}(x,C_i))+g(x)+N(u^{(m)}(x,C_i)),\quad i=1, 2, \cdots, m \label{residual} \end{equation}

如果恰好有$R(x,C_i)=0$,则$u^{(m)}(x,C_i)$正是方程的精确解。通常情况下不会这么巧。我们可以对如下泛函求极小值

\begin{equation} J(C_i)=\int_a^b R^2(x,C_i)dx \label{J} \end{equation}

其中$a,b$为问题定义域上两数。

对泛函求极值,可定出未知常数$C_i$的值:

\begin{equation} \frac{\partial J}{\partial C_1}=\frac{\partial J}{\partial C_2}=\cdots=\frac{\partial J}{\partial C_m}=0 \label{Jm} \end{equation}

标签: oham, 微分方程

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