Essential University Physics 21.4 高斯定理的应用

21.4 高斯定理的应用

高斯定理是关于电场的普适规律,适用于任何闭合曲面和任何电荷分布。对于具有高度对称性的电荷分布——球对称、柱对称和面对称——高斯定理可以比库仑定律更方便地计算电场。对于具有高度对称性的电荷分布,不需要知道电场分布,就可以计算出电通量。然后,我们就可以用闭合曲内部的净电荷数表述电场$E$了。下面我们先介绍一下将高斯定理应用于对称电荷分布的一般策略,然后举例,应用高斯定理分别计算三种对称性的电荷分布的电场。

用高斯定理解题的策略

分析:首先看电荷分布对称性是不是球对称、柱对称、面对称中的一种,是否允许应用高斯定理求电场。如果不具有这样的对称性,高斯定理还是成立的,只不过无助于你求电场。

然后画出电荷分布示意图,根据对称性,推断电场的方向,画出几条电场线,然后画出合适的高斯面——假想的闭合曲面,以便计算高斯定理中的积分。电场大小在高斯面上必须处处一样,方向与高斯面垂直。对于柱对称和面对称体系,电场线可能会与部分高斯面平行。如果你找不到合适的高斯面,很可能是因为电荷分布对称性不够高,无法应用高斯定理求电场。

计算:在整个高斯面上计算电通量$\Phi=\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\oint E\cos\theta dA$。由于你找的高斯面与电场垂直,所以$\cos\theta=1$,要算的积分变为$\Phi= \oint E dA$。又高斯面上电场大小处处相等,积分变为$\Phi= E \oint dA=EA$。高斯面与电场$\vec{E}$平行的部分,$\vec{E}\cdot d\vec{A}=0$,对电通量没有贡献。

然后计算被高斯面包围的净电荷数,其与电荷体系的总电量可能相等,也可能不等,看你计算的场点是位于电荷体系以外还是电荷体系内部。

根据电通量等于$q_{内}/\epsilon_0$计算电场。所得为电场大小,电场的方向由对称性判断。

检查结果,看是否与已知的具有球对称、柱对称、面对称的简单电荷分布的结果一致。

你会很快熟悉以上这些策略的,因为能应用高斯定理求电场的情形只有三种。

球对称电荷分布

电荷分布具有球对称性,即电荷密度只与到电荷分布中心的径向距离$r$有关,也称为点对称性。点电荷就是最简单的球对称电荷分布。对于球对称的电荷分布,其电场方向也沿径向,可能沿径向向外,也可能沿径向向内。

例题21.1 高斯定理:均匀带电球
电量$Q$均匀分布于一个半径为$R$的球内,求球内外各点处的电场。

分析:电荷分布具有球对称性,可以应用高斯定理。

如图21.9,我们画出球电荷分布,由于对称性,电场方向沿径向,如果球带正电,则电场方向沿径向向外,如果球带负电,则电场方向沿径向向内。我们在图21.9也画了几条电场线。我们应该选取的高斯面应该是与球电荷同心的球面。由于要求球内外的电场,我们在球内球外各画了一个球形高斯面。



图21.9 求均匀带电球的电场

计算:

  • 由于对称性,电场$\vec{E}$与高斯面垂直,且电场在高斯面上各点大小相等,于是电通量积分$\Phi=\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=E \oint dA$。设高斯面半径为$r$,于是电通量为$\Phi=E(4\pi r^2)$。
  • 下面计算高斯面包围的电量。对于高斯面1,它位于带电球外部,$r\gt R$,因此包围电量就是球所带电量$q_{内}=Q$。而高斯面2,它位于带电球内部,只包围带电球的部分电量。高斯面2包围的体积为$4\pi r^3/3$,整个球的体积是$4\pi R^3/3$,高斯面2包围的体积是总体积的$r^3/R^3$,因此,所包围的电量也是总电量的$r^3/R^3$,即$q_{内}=Qr^3/R^3$。
  • 电通量$\Phi=E(4\pi r^2)=q_{内}/\epsilon_0$,在球外,$q_{内}=Q$,因此有$E(4\pi r^2)=Q/\epsilon_0$,得电场为

\begin{equation}
E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2} \quad (均匀带电球外部的电场)
\label{21.4}\tag{21.4}
\end{equation}

在带电球内部$q_{内}=Qr^3/R^3$,$\Phi=E(4\pi r^2)=q_{内}/\epsilon_0=Qr^3/(R^3\epsilon_0)$,解出$E$为

\begin{equation}
E=\frac{Qr}{4\pi\epsilon_0 R^3} \quad (均匀带电球内部的电场)
\label{21.5}\tag{21.5}
\end{equation}

检查:球外部的电场,$E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}=\frac{kQ}{r^2}$,正是点电荷的电场!在球内部,电场随距离线性增大。电场按$r$的-2次幂减小,但电量按$r$的3次幂增大,结果电场按$r$线性增大。图21.10画出了球内外的电场分布,可以看出球内外电场在球面处连续。



图21.10 半径为$R$的均匀带电球的电场随径向距离的变化。

我们所得的球电荷分布在球以外空间的电场分布,\eqref{21.4}式,不是近似,而是精确结果。即球电荷分布的电场与位于球心的等量点电荷的电场是一样的。想象一下,用叠加原理得到这个结果会是多么麻烦。各电荷元的电场叠加起来却是一个点电荷的电场,多么神奇。这个结果甚至不需要电荷在球内均匀分布,只要求电荷分布具有球对称性即可。即任何球对称的电荷分布在球外的电场与位于球心处的等量点电荷的电场是一样的。

顺便提一下,这个结果对万有引力也是适用的,因为万有引力也满足平方反比定律。这就是我们将行星处理成位于其中心的质点的原因。根据球内的电场分布,\eqref{21.5}式,我们也可以知道,越靠近地球中心,地球内部的重力加速度越小。

电荷在球内如果不是均匀分布的,结果又是怎么样的?我们考虑一个极端情况:球内部没有电荷,电荷只分布在球面上。

例题21.2 高斯定理:空心球壳
一个半径为$R$的空心薄球壳,均匀带电,电量为$Q$,求球壳内外的电场分布。

分析:电荷分布具有球对称性,可以应用高斯定理。根据例题21.1,我们已经知道球壳外电场与点电荷电场是一样的。所以我们只需考虑球壳内部。



图21.11 例题21.2草图。

图21.11为带电球壳草图,我们应该选与球壳同心的球面为高斯面,如图所示。

计算:

  • 如例题21.1所讨论,电通量为$\Phi=E(4\pi r^2)$
  • 高斯面所包围的电量,显然为0,$q_{内}=0$。
  • 根据$\Phi=E(4\pi r^2)=q_{内}/\epsilon_0=0$,显然球壳内$E=0$。

检查:球壳内电场为0,可以由图21.12来理解,这也是平方反比定律带来的结果。



图21.12 在球壳内任一点$P$处,区域A处和B处的电荷在$P$点的电场恰好抵消。区域A到$P$点距离近,但区域A面积小,电量小。区域B到$P$点距离远,但区域A面积大,电量大。结果两处产生的电场恰好相等。球壳内处处电场为0。

课堂练习21.3
一球壳均匀带电,电量为$Q$。如果电量增大一倍,则(a)球壳内和(b)球壳外电场如何变化?

例题21.3 高斯定理:带电球壳+点电荷

一球壳半径为$R$,中心处有一点电荷$q$,球壳均匀带电,电量为$-2q$,求球壳内外的电场。

分析:电荷分布具有球对称性。

分析草图如图21.13所示。在球壳内外各画了一个高斯面。设球心处点电荷$q$为正电荷,我们画了几条电场线,以辅助分析问题。



图21.13 球壳带电$-2q$,球壳中心有一电量为$q$的点电荷。

计算:

  • 前面的例题已经计算了电通量$\Phi=4\pi r^2 E$。
  • 球壳外($r\gt R$)的高斯面包围的电量为$q_{内}=-q$。球壳内($r\gt R$)的高斯面包围的电量为$q_{内}=q$。
  • 根据高斯定理,$\Phi=4\pi r^2 E=\frac{q_{内}}{\epsilon_0}$,得电场为

\begin{equation*} E=\begin{cases} \frac{-q}{4\pi\epsilon_0 r^2},& r\gt R \\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2},& r\lt R \end{cases} \end{equation*}

检查:球对称电荷分布的电场等价于将电量集中于球心的电场。本例题中,电荷分布净电荷为$-q$,球壳外,$r\gt R$,电场分布正是点电荷$-q$的电场。另外一种看待我们所得结果的角度是叠加原理:均匀带电$-2q$的球壳单独存在时的电场,加上点电荷$q$单独存在时的电场,正是我们所得结果。图21.13中的电场线有助于理解所得结果。

再强调一下,电荷分布如果没有足够的对称性,不能应用高斯定理求电场,如图21.14就是这样的情况。球形高斯面包围的净电荷为0,所以穿过球面的电通量为0,但高斯面内和高斯面上电场不为0。



图21.14 球壳带电$-2q$,球壳中心有一电量为$q$的点电荷。

柱对称电荷分布

电荷分布具有柱对称性,其电荷密度只依赖于到对称轴的径向距离。柱对称的电荷分布产生柱对称电场,电场方向沿径向方向,电场大小只依赖于到对称轴的距离。要应用高斯定理,还要求电荷分布无限长,因此平行对称轴方向电场不变。电荷分布当然不可能无限长,但是在很多情况下,无限长是很好的近似。下面我们以两个例子,说明高斯定理在柱对称电荷分布中的应用。

例题21.4 高斯定理:无限长带电线

应用高斯定理,求无限长均匀带电线的电场分布,电荷线密度为$\lambda$。

分析:体系具有柱对称性。

对称性要求电场方向沿径向,距离带电线相同距离的地方,电场大小处处相等。高斯面取为以带电线为轴的圆柱面,如图21.15所示。



图21.15 包围带电线的圆柱形高斯面。

计算:

  • 首先计算电通量$\Phi=\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}$。电场$\vec{E}$与圆柱面侧面垂直,与端面平行,电场在侧面上处处相等。因此电通量$\Phi=\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\int_{侧面}EdA+\int_{端面}EdA=\int_{侧面}EdA+0=\int_{侧面}EdA=E\int_{侧面}dA=2\pi rLE$,其中$L$为圆柱母线长度。
  • 高斯面包围的电量$q_{内}=\lambda L$
  • 根据高斯定理,$\Phi=2\pi rLE=q_{内}/\epsilon_0$,于是得电场为

\begin{equation}
E=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r} \quad (无限长带电线的电场分布)
\tag{21.6}\label{21.6}
\end{equation}

检查:与例题20.7所得结果一致,但是高斯定理方法更为简单。

尽管例题21.4 计算的是无限细的带电线,但是从图21.16可以看出,所得结果\eqref{21.6}也适用于任何柱对称电荷分布在外部的电场。如在例题20.7中评论的一样,无限长圆柱是一个很好的近似,只要我们所感兴趣的场点不在端点附近,并靠近圆柱。



图21.16 例题21.4的讨论适用于任何无限长圆柱对称性电荷分布外部的电场

例题21.5 高斯定理:中空管
一薄壁管道,$3\mathrm m$长,半径为$2.0\mathrm{cm}$,其表面上均匀带电,电量为$q=5.7\mathrm{\mu C}$,求距离管轴线$1.0\mathrm{cm}$和$3.0\mathrm{cm}$,且远离末端,处的电场。

分析:管的长度尽管有限,但远大于场点到管轴线的距离,因此可以认为管无限长。电荷分布为无限长圆柱对称性体系。

适当的高斯面为与管共轴的圆柱面,我们画两个高斯面,半径分别为$1.0\mathrm{cm}$和$3.0\mathrm{cm}$,如图21.17所示。



图21.17 例题21.5的高斯面

计算:

  • 电通量计算同例题21.4,为$\Phi=2\pi rLE$。
  • 计算高斯面包围的电量,半径$r=3.0\mathrm{cm}$的高斯面包围的电量为管所带的电量,$q_{内}=5.7\mathrm{\mu C}$,半径$r=1.0\mathrm{cm}$的高斯面包围的电量为0。
  • 在$r=3.0\mathrm{cm}$处,电场为$E=\frac{q_{内}}{2\pi \epsilon_0 rL}=\frac{5.7\times 10^{-6}}{2\pi\epsilon_0 \times 0.03 \times 3}\mathrm{N/C}=1.1\times 10^6\mathrm{N/C}$。在$r=1.0\mathrm{cm}$处,电场为0。

检查:管内没有电场,原因与均匀带电球壳内部电场为0原因类似。管外电场符号表达式$E=\frac{q_{内}}{2\pi \epsilon_0 rL}$,带入电荷线密度$\lambda=q_{内}/L$,符号表达式变为$E=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}$,正是我们在例题21.4所得结果,\eqref{21.6}式。

面对称电荷分布

电荷分布具有面对称性,其电荷密度只依赖于到某平面的距离。电场方向垂直于对称平面。要应用高斯定理,还要求电荷分布无限延伸。这在实际中当然是不可能的,但在合适情形下,可以作为很好的近似。下面请看例题。

例题21.6 高斯定理:无限大带电平面

一无限大均匀带电平面,电荷面密度为$\sigma$。求电场分布。

分析:电荷分布具有面对称性,对称面就是带电平面本身。

图21.18为分析草图。高斯面为圆柱面,跨越带电平面,且在两侧延伸距离相同。电场方向垂直于底面,平行于侧面,电场大小在底面上处处相等。



图21.18 高斯面跨越无限大带电平面

计算:

  • 计算电通量。侧面不贡献电通量,电通量都来自底面。设底面的面积为$A$。电场在底面上是均匀的,因此每个底面贡献的电通量为$EA$,总的电通量为$\Phi=2EA$。
  • 计算高斯面包围的电量。包围于高斯面内的带电平面的面积为$A$,因此被包围的电量为$q_{内}=\sigma A$。
  • 应用高斯定理,$\Phi=2EA=\sigma A/\epsilon_0$,得电场为

\begin{equation}
E=\frac{\sigma}{2 \epsilon_0 } \quad (无限大带电平面的电场分布)
\tag{21.7}\label{21.7}
\end{equation}

检查:对于无限大带电平面,对称性要求电场线垂直于平面,不得铺展开,这意味着电场大小不随距离而变,这与\eqref{21.7}式一致,式中没有到带电平面的距离。尽管我们的结果只对无限大带电平面成立,但是对于足够大的均匀带电平面附近远离平面边缘处的电场,是个很好的近似。

标签: 高斯定理, 对称性

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